[论文解读] Control of the Grushin equation: non-rectangular control region and minimal time

Michel Duprez, Armand Koenig|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2018

Stability and Controllability of Differential EquationsEngineering参考文献 24被引用 19

一句话总结

本文利用虚构控制方法和复多项式 $L^2$ 估计，确定了非矩形控制区域下格鲁辛方程的最小零可控时间。证明若控制区域包含从底边界到顶边界路径的 $\varepsilon$-邻域，则对所有 $T > a^2/2$，零可控性成立，其中 $a$ 为路径的最大水平偏移量，并通过可观测性不等式证明该时间是精确的。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of the internal null-controllability of the Grushin equation. We determine the minimal time of controllability for a large class of non-rectangular control region. We establish the positive result thanks to the fictitious control method and the negative one by interpreting the associated observability inequality as an $L^2$ estimate on complex polynomials.

研究动机与目标

• 确定当控制区域为非矩形且不接触退化线 $x=0$ 时，格鲁辛方程的最小零可控时间。
• 将已知的可控性结果从垂直条带推广至包含从底边界到顶边界路径的更一般控制域。
• 通过将可观测性不等式解释为复多项式上的 $L^2$ 估计，建立最小时间 $T > a^2/2$ 的精确性。
• 通过构造截断函数并使用能量估计，将最小时间结果推广至非矩形区域。

提出的方法

• 采用虚构控制方法，将零可控性问题转化为可观测性不等式。
• 通过 $\mathbb{R}^2 \setminus \tilde{\gamma}(\mathbb{R})$ 右侧部分的示性函数的光滑化构造截断函数 $\theta$，确保 $\operatorname{supp}(\nabla\theta) \subset \omega_0 \subset \omega$。
• 利用单位分解将解分解为自由部分和内部部分，并在加权空间 $V(\Omega)$ 中通过能量估计导出控制。
• 证明依赖于格鲁辛算子的谱结构以及复分析技术，特别是利用鲁恩定理构造可观测性的反例。
• 通过将可观测性不等式解释为复多项式上的 $L^2$ 估计，并在 $L^\infty$ 范数下构造反例，证明最小时间 $T > a^2/2$ 是精确的。

实验结果

研究问题

• RQ1 当控制区域不是垂直条带但包含从区域底边界到顶边界路径时，格鲁辛方程实现零可控性的最小时间是多少？
• RQ2 对于非矩形控制区域，最小时间 $T = a^2/2$ 是否可实现，且该时间是否精确？
• RQ3 控制区域的几何形状，特别是其与退化线 $x=0$ 的距离，如何影响最小可控时间？
• RQ4 格鲁辛方程的可观测性不等式能否被表征为复多项式上的 $L^2$ 估计，这又对可控性意味着什么？
• RQ5 对于非垂直条带的控制区域，最小时间 $T > a^2/2$ 是否精确，以及如何证明？

主要发现

• 若控制区域 $\omega$ 包含从 $(-1,1)\times\{0\}$ 到 $(-1,1)\times\{\pi\}$ 的连续路径 $\gamma$ 的 $\varepsilon$-邻域，则对所有 $T > a^2/2$，格鲁辛方程是零可控的，其中 $a = \max_s |\operatorname{abscissa}(\gamma(s))|$。
• 最小时间 $T > a^2/2$ 是精确的：对任意 $T \leq a^2/2$，可观测性不等式不成立，意味着零可控性不可能实现。
• 负结果的证明依赖于将可观测性不等式解释为复多项式上的 $L^2$ 估计，并利用鲁恩定理构造反例。
• 通过精心构造的截断函数 $\theta$ 实现控制在 $\omega$ 内的局域化，满足 $\operatorname{supp}(\nabla\theta) \subset \omega_0 \subset \omega$，确保控制仅作用于目标区域。
• 该结果推广了关于垂直条带和对称条带的先前结果，表明最小时间仅依赖于路径的最大水平跨度，而不依赖于其垂直变化。
• 通过证明多项式在圆盘上的 $L^2$ 范数无法被其在不逼近边界区域 $U$ 上的 $L^2$ 范数所控制，从而确立了最小时间的精确性，违反了所需的可观测性估计。