[论文解读] Corks with large shadow-complexity and exotic 4-manifolds

Hironobu Naoe|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文构建了一个无限族的马祖尔型塞子 $C_{n,k}$，其特殊阴影复杂度被控制在 $2n$ 到 $O(n^{3/2})$ 之间，证明了奇异 4-流形可以具有任意大的阴影复杂度。利用这些塞子，进一步构造了具有相同复杂度界限的奇异对 $(W_{n,k}, W'_{n,k})$，解决了关于带边奇异 4-流形最小复杂度的问题。

ABSTRACT

We construct an infinite family $\{ C_{n,k}\}_{k=1}^{\infty}$ of corks of Mazur type satisfying $2n\leq \mathrm{sc}^{\mathrm{sp}}(C_{n,k})\leq O(n^{3/2})$ for any positive integer $n$. Furthermore, using these corks, we construct an infinite family $\{(W_{n,k},W'_{n,k})\}_{k=1}^{\infty}$ of exotic pairs of $4$-manifolds with boundary whose special shadow-complexities satisfy the above inequalities. We also discuss exotic pairs with small shadow-complexity.

研究动机与目标

• 构建一个具有受控且较大特殊阴影复杂度的马祖尔型塞子无限族。
• 证明带边的奇异 4-流形可以具有任意高的阴影复杂度。
• 解决带边奇异 4-流形对的最小特殊阴影复杂度问题。
• 为塞子与奇异对的特殊阴影复杂度提供明确的上下界。

提出的方法

• 通过凯尔比微积分与胞腔分解构造塞子 $C_{n,k}$，其包含 $n+1$ 个 1-胞与 $n+2$ 个 2-胞。
• 通过分析从凯尔比图构造的特殊阴影多面体中的真实顶点数，推导出阴影复杂度的界。
• 上界 $D(n)$ 通过一个涉及 $n$ 和 $\pi^2$ 的平方根的上取整函数的公式计算得出。
• 下界 $2n$ 通过利用光泽条件与定理 2.8 分析边界 3-流形的阴影复杂度建立。
• 奇异对 $(W_{n,k}, W'_{n,k})$ 通过在塞子 $C_{n,k}$ 上附加一个 framing 为 $-1$ 或 $0$ 的 2-胞而形成，从而产生不同的光滑结构。
• 奇异对的特殊阴影复杂度通过 $W_{n,k}$ 与 $W'_{n,k}$ 的阴影构造推导出其个体复杂度的最大值，从而得到界。

实验结果

研究问题

• RQ1 带边奇异 4-流形对的最小特殊阴影复杂度是多少？
• RQ2 是否存在塞子或奇异 4-流形，其阴影复杂度可任意大？
• RQ3 塞子的阴影复杂度与它所生成的奇异 4-流形的复杂度之间有何关系？
• RQ4 边界 3-流形的复杂度如何与 4-流形的特殊阴影复杂度相关？
• RQ5 奇异对的特殊阴影复杂度能否被 $n$ 的某个函数从下方界定？

主要发现

• 构造了一个马祖尔型塞子无限族 $\{C_{n,k}\}_{k=1}^\infty$，满足 $2n \leq \mathrm{sc}^{\mathrm{sp}}(C_{n,k}) \leq D(n)$，其中 $D(n)$ 由一个涉及上取整函数的分段公式显式给出。
• 上界 $D(n)$ 的渐近行为为 $O(n^{3/2})$，表明阴影复杂度随 $n$ 的增长呈次二次增长。
• 奇异对 $(W_{n,k}, W'_{n,k})$ 的特殊阴影复杂度满足 $2n \leq \mathrm{sc}^{\mathrm{sp}}(W_{n,k}, W'_{n,k}) \leq D(n)$，证实了奇异结构中存在大复杂度。
• 本文证明了带边奇异 4-流形对的最小特殊阴影复杂度为 1 或 2，解决了科斯坦蒂提出的问题。
• 在 $W'_{n,k}$ 的边界 3-流形中，特殊阴影复杂度为 $2n$，这直接贡献于 4-流形复杂度的下界。
• 该构造证实了存在带边奇异 4-流形，其特殊阴影复杂度可通过增大 $n$ 而变得任意大。