[论文解读] Correspondence between future-included and future-not-included theories

Keiichi Nagao, H. B. Nielsen|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文建立了包含未来的复作用理论（CAT）与具有适当内积的标准不包含未来的量子理论之间的对应原理。通过利用自动厄米性机制及一个厄米算符 $ Q' $，证明了在时间间隔较大时，包含未来的框架中的矩阵元会收敛到具有非平凡内积的不包含未来理论中的矩阵元，从而在现象学上证明了前者的可行性，尽管其结构非标准。

ABSTRACT

We briefly review the correspondence principle proposed in our previous paper, which claims that if we regard a matrix element defined in terms of the future state at time $T_B$ and the past state at time $T_A$ as an expectation value in the complex action theory whose path runs over not only past but also future, the expectation value at the present time $t$ of a future-included theory for large $T_B-t$ and large $t-T_A$ corresponds to that of a future-not-included theory with a proper inner product for large $t-T_A$. This correspondence principle suggests that the future-included theory is not excluded phenomenologically.

研究动机与目标

• 研究尽管具有非标准的时间对称结构，包含未来的复作用理论（CAT）是否在现象学上可行。
• 阐明包含未来理论中的矩阵元与具有非平凡内积的标准不包含未来理论中的矩阵元之间的关系。
• 证明在长时间区间下，包含未来理论中的期望值渐近地匹配具有适当定义内积的不包含未来理论中的期望值。
• 通过自动厄米性机制展示非厄米哈密顿量在量子理论中的自洽性，从而验证其与标准量子力学原理的一致性。

提出的方法

• 通过路径积分分别定义过去和未来时间区间内的时间演化态 $|A(t)\rangle$ 和 $|B(t)\rangle$，其中 $T_A = -\infty$ 且 $T_B = \infty$。
• 为过去演化引入非厄米哈密顿量 $\hat{H}$，为其未来演化引入其共轭 $\hat{H}_B = \hat{H}^\dagger$。
• 应用自动厄米性机制，在长时间演化后抑制 $\hat{H}$ 的反对厄米部分，确保渐近区域的有效厄米性。
• 构造一个厄米算符 $Q'$，以在不包含未来的理论中定义适当的内积，从而保证幺正性和概率守恒。
• 通过路径积分表达式的渐近分析，推导出在 $t - T_A$ 和 $T_B - t$ 较大时的对应关系 $\langle\mathcal{O}\rangle^{BA} \simeq \langle\mathcal{O}\rangle_{Q'}^{AA}$。
• 通过限制到实数 $q$ 变量，简化分析，避免使用复坐标形式化，同时保留核心对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 包含未来的复作用理论能否产生与标准不包含未来量子理论在物理上等价的期望值？
• RQ2 在何种条件下，包含未来理论中的矩阵元 $\langle\mathcal{O}\rangle^{BA}$ 会收敛到标准量子力学的期望值？
• RQ3 在长时间极限下，包含未来框架中的非厄米哈密顿量如何产生一致且类似幺正的动力学？
• RQ4 自动厄米性机制在调和非厄米动力学与标准量子力学可观测量之间起到什么作用？
• RQ5 在不包含未来的理论中，非局部内积 $Q'$ 是否能在现象学应用中被有效局域化？

主要发现

• 在 $t - T_A$ 和 $T_B - t$ 较大时，包含未来理论中的矩阵元 $\langle\mathcal{O}\rangle^{BA}$ 渐近地匹配到具有适当内积 $Q'$ 的不包含未来理论中的期望值 $\langle\mathcal{O}\rangle_{Q'}^{AA}$。
• 该对应关系通过自动厄米性机制建立，该机制在长时间演化后抑制 $\hat{H}$ 的反对厄米部分，确保有效厄米性。
• 用于在不包含未来理论中定义内积的算符 $Q'$，由 $\hat{H}$ 的对角化矩阵导出，并在 $t - T_A$ 较大时被证明等价于受限子空间中的 $Q_2$。
• 该对应关系意味着，尽管结构非标准，包含未来的复作用理论在现象学上并未被排除，因为其预测在适当条件下与标准量子理论一致。
• 即使不使用复坐标形式化，通过限制到实数 $q$ 变量，该结果依然成立，证实了在简化设定下该对应关系的稳健性。
• 在路径积分框架中，包含未来的表述形式更为优雅，表明其尽管时间对称性非标准，但仍具有更深层次的结构优势。