[论文解读] Counting Hypergraphs with Large Girth

Sam Spiro, Jacques Verstraëte|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文将容器方法扩展至计数 $r$-均匀超图（其围长较大），通过将此类超图的数量与围长大于 $\ell$ 的图的数量关联起来。研究证明，顶点数为 $n$、边数为 $m$ 且围长大于 $\ell$ 的 $n$-顶点 $r$-图的数量被限制为 $\mathrm{N}_m^2(n,\ell)^{r-1+\lambda}$，其中 $\lambda = \lceil(r-2)/(\ell-2)\rceil$，当 $\ell-2$ 整除 $r-2$ 时，该界在指数部分的 $1+o(1)$ 范围内是紧的。该结果为稀疏且高围长结构的极值图论与极值超图论之间建立了强有力的定量联系。

ABSTRACT

Morris and Saxton used the method of containers to bound the number of $n$-vertex graphs with $m$ edges containing no $\ell$-cycles, and hence graphs of girth more than $\ell$. We consider a generalization to $r$-uniform hypergraphs. The {\em girth} of a hypergraph $H$ is the minimum $\ell$ such that for some $F \subseteq H$, there exists a bijection $ϕ: E(C_\ell) o E(F)$ with $e\subseteq ϕ(e)$ for all $e\in E(C_\ell)$. Letting $N_m^r(n,\ell)$ denote the number of $n$-vertex $r$-uniform hypergraphs with $m$ edges and girth larger than $\ell$ and defining $λ= \lceil (r - 2)/(\ell - 2) floor$, we show \[ N_m^r(n,\ell) \leq N_m^2(n,\ell)^{r - 1 + λ}\] which is tight when $\ell - 2 $ divides $r - 2$ up to a $1 + o(1)$ term in the exponent. This result is used to address the extremal problem for subgraphs of girth more than $\ell$ in random $r$-uniform hypergraphs.

研究动机与目标

• 将容器方法从图推广至 $r$-均匀超图，用于计数围长大于 $\ell$ 的结构。
• 建立 $n$-顶点 $r$-图在边数为 $m$ 且围长大于 $\ell$ 的情形下，其数量的紧上界。
• 解决随机 $r$-均匀超图中围长大于 $\ell$ 的子图的极值问题。
• 确定随机超图中极值函数 $\mathrm{ex}(H_{n,p}^r, \mathcal{C}_{[\ell]}^r)$ 的渐近行为。

提出的方法

• 使用容器方法来限制边数为 $m$ 且围长大于 $\ell$ 的 $r$-图的数量，推广图的相关结果。
• 定义 $\lambda = \lceil(r-2)/(\ell-2)\rceil$，并证明 $\mathrm{N}_m^r(n,\ell) \leq \mathrm{N}_m^2(n,\ell)^{r-1+\lambda}$，将超图计数与图计数关联起来。
• 应用概率与极值技术分析随机超图中 BERGE 圈的数量。
• 使用马尔可夫不等式与切尔诺夫界，建立随机超图中边数与圈数的集中性。
• 通过双重计数与 BERGE 圈出现次数的极值界推导出紧性条件。
• 将结果推广至森林 $F - v$ 的 BERGE-$F$ 超图，并提出关于最优指数的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathrm{N}_m^r(n,\ell)$ 缺乏有效界的情况下，如何将容器方法适配以计数围长大于 $\ell$ 的 $r$-均匀超图？
• RQ2 是否存在最紧的指数 $\beta$，使得 $\mathrm{N}_m^r(n,\mathcal{C}_\ell^r) \leq 2^{cm} \cdot \mathrm{N}_{[m]}^2(n,C_\ell)^\beta$？
• RQ3 随机 $r$-均匀超图中围长大于 $\ell$ 的子图的极值边数是否如猜想所示表现出两阶段阈值行为？
• RQ4 Berge-$F$ 超图的界中指数 $r!/2$ 是否可改进，特别是当 $F$ 为 theta 图时？
• RQ5 在何种条件下，$p^m \cdot \mathrm{N}_m^r(n,\ell) \to \infty$ 蕴含 $H_{n,p}^r$ 几乎必然包含一个具有 $m$ 条边且围长大于 $\ell$ 的子图？

主要发现

• 边数为 $m$、围长大于 $\ell$ 的 $n$-顶点 $r$-图的数量被限制为 $\mathrm{N}_m^2(n,\ell)^{r-1+\lambda}$，其中 $\lambda = \lceil(r-2)/(\ell-2)\rceil$，为超图计数与图计数之间建立了强有力的定量联系。
• 当 $\ell-2$ 整除 $r-2$ 时，该界在指数部分的 $1+o(1)$ 范围内是紧的，确认了关键情形下的最优性。
• 对于随机 $r$-均匀超图 $H_{n,p}^r$，其围长大于 $\ell$ 的子图的极值边数几乎必然至少为 $p^{1/(2r-3)}n^{2-o(1)}$，从而建立了下界。
• 由于辅助超图 $H''$ 中 BERGE 4-圈的结构问题，当前形式的方法在 $\ell \geq 4$ 时失效，限制了其适用范围。
• 当 $F - v$ 为森林时，已证明 BERGE-$F$ 超图的推广，得到指数为 $r!/2$ 的界，但该界可能并非最优。
• 本文提出了关于随机超图中两阶段极值阈值的猜想 III，候选指数为 $\gamma = r-1 + (r-2)/(\varepsilon-2)$，并提出了问题 II 以验证 $\gamma(3,4) = 5/2$。