[论文解读] Courant algebroids from categorified symplectic geometry

Christopher L. Rogers|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文建立了2-辛流形（配备一个闭的非退化3-形式）与精确柯朗代数丛之间的直接对应关系，表明每个2-辛形式ω都诱导出一个具有Ševera类[ω]的柯朗代数丛Eω。它构造了哈密顿1-形式的李2-代数到Eω截面的李2-代数的嵌入，将这些可观测量识别为保持2-辛结构的无穷小对称性。

ABSTRACT

In categorified symplectic geometry, one studies the categorified algebraic and geometric structures that naturally arise on manifolds equipped with a closed nondegenerate (n+1)-form. The case relevant to classical string theory is when n=2 and is called "2-plectic geometry". Just as the Poisson bracket makes the smooth functions on a symplectic manifold into a Lie algebra, there is a Lie 2-algebra of observables associated to any 2-plectic manifold. String theory, closed 3-forms and Lie 2-algebras also play important roles in the theory of Courant algebroids. Courant algebroids are vector bundles which generalize the structures found in tangent bundles and quadratic Lie algebras. It is known that a particular kind of Courant algebroid (called an exact Courant algebroid) naturally arises in string theory, and that such an algebroid is classified up to isomorphism by a closed 3-form on the base space, which then induces a Lie 2-algebra structure on the space of global sections. In this paper we begin to establish precise connections between 2-plectic manifolds and Courant algebroids. We prove that any manifold M equipped with a 2-plectic form omega gives an exact Courant algebroid E_omega over M with Severa class [omega], and we construct an embedding of the Lie 2-algebra of observables into the Lie 2-algebra of sections of E_omega. We then show that this embedding identifies the observables as particular infinitesimal symmetries of E_omega which preserve the 2-plectic structure on M.

研究动机与目标

• 建立2-辛几何与柯朗代数丛之间精确的数学联系。
• 证明每个2-辛流形(M, ω)都导出一个具有Ševera类[ω]的精确柯朗代数丛Eω。
• 构造哈密顿1-形式的李2-代数到Eω整体截面的李2-代数的嵌入。
• 将该嵌入的像识别为保持M上2-辛结构的Eω的无穷小对称性。
• 阐明可观测量在2-辛几何中的作用，通过伴随作用将其识别为哈密顿2-辛微分同胚。

提出的方法

• 使用3-形式ω作为Ševera类，构造2-辛流形(M, ω)上的精确柯朗代数丛Eω。
• 通过公式 (v₁, α₁) ∘ω (v₂, α₂) = [[(v₁, α₁), (v₂, α₂)]]ω + ½ d⟨(v₁, α₁), (v₂, α₂)⟩ 定义Eω截面上的非斜对称括号。
• 利用与1-形式α相关的哈密顿向量场vα，通过φ₀(α) = (vα, -α) 定义映射φ₀: Ham(M) → Γ(Eω)。
• 证明当(u,β)属于φ₀的像时，其伴随作用ad(u,β)对应于导子(u, 0) ∈ Vect(M) ⊕ Ω²(M)。
• 证明此类截面生成1-parameter族的柯朗代数丛自同构，对应于满足φₜ*ω = ω的微分同胚φt。
• 验证哈密顿1-形式的李2-代数结构通过映射φ₀嵌入到Eω截面的李2-代数中。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用2-辛流形(M, ω)构造一个精确的柯朗代数丛Eω？
• RQ2 M上哈密顿1-形式的李2-代数与Eω整体截面的李2-代数之间有何关系？
• RQ3 Eω的哪些截面对应于保持M上2-辛结构的对称性？
• RQ4 Eω截面的伴随作用如何与非斜对称括号的导子相关？
• RQ5 2-辛几何中的可观测量能否被识别为相关柯朗代数丛的无穷小对称性？

主要发现

• 每个2-辛流形(M, ω)都唯一导出一个具有Ševera类[ω] ∈ H³dR(M)的M上精确柯朗代数丛Eω。
• 通过α ↦ (vα, -α) 定义的映射φ₀: Ham(M) → Γ(Eω) 将哈密顿1-形式的李2-代数嵌入到Eω整体截面的李2-代数中。
• 属于φ₀像的截面(u, β) ∈ Γ(Eω) 满足 ad(u,β)(v, α) = (ℒᵤv, ℒᵤα)，即其伴随作用保持2-辛结构。
• 此类截面的伴随作用对应于导子(u, 0) ∈ Vect(M) ⊕ Ω²(M)，意味着它们生成Eω的对称性。
• 由ad(u,β)生成的柯朗代数丛自同构1-parameter族对应于满足φₜ*ω = ω的1-parameter族微分同胚φt: M → M。
• 这些微分同胚是哈密顿2-辛微分同胚，将辛几何中的哈密顿微分同胚推广到2-辛情形。