[论文解读] Covariance and objectivity in mechanics and turbulence

Michael Frewer|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Relativity and Gravitational Theory参考文献 54被引用 4

一句话总结

本文通过区分形式不变性（协变性）与参考系无关性（客观性），重新定义了连续介质力学与湍流建模中协变性与客观性的角色，提出了适用于本构建模的简化材料参考系无关性（r-MFI）原理，并引入了作为独立公理的湍流参考系无关性（TFI），用于湍流建模。研究表明，平均速度场可作为相对的、非客观变量被一致地纳入模型中，从而提升与广义热力学及湍流理论中物理观测的一致性。

ABSTRACT

Form-invariance (covariance) and frame-indifference (objectivity) are two notions in classical continuum mechanics which have attracted much attention and controversy over the past decades. Particularly in turbulence modelling it seems that there still is a need for clarification. The aim and purpose of this study is fourfold: (i) To achieve consensus in general on definitions and principles when trying to establish an invariant theory for modelling constitutive structures and dynamic processes in mechanics, where special focus is put on the principle of Material Frame-Indifference (MFI). (ii) To show that in constitutive modelling MFI can only be regarded as an approximation that needs to be reduced to a weaker statement when trying to advance it to an axiom of nature. (iii) To convince that in dynamical modelling, as in turbulence, MFI may not be utilized as a modelling guideline, not even in an approximative sense. Instead, its reduced form has to be supplemented by a second, independent axiom that includes the microscopic (fluctuating) description of the dynamical processes. Concerning Navier-Stokes turbulence, the axiom of Turbulent Frame-Indifference (TFI) is stated in which turbulence has to be modelled consistently with the invariant properties of the deterministic Navier-Stokes equations, and finally (iv) to propose a novel invariant modelling ansatz both for constitutive and dynamical modelling that allows to include the (mean) velocity field as an own independent modelling variable, however, not in an absolute but only in the relative sense as a velocity difference; a result that would systematically improve current modelling procedures in extended thermodynamics and turbulence theory to be more consistent with physical observations.

研究动机与目标

• 澄清连续介质力学中形式不变性（协变性）与参考系无关性（客观性）之间的基本区别，解决文献中长期存在的混淆问题。
• 论证材料参考系无关性（MFI）不能作为自然的基本公理，而必须被简化为一种更弱但具有物理合理性的形式——r-MFI，适用于惯性伽利略变换。
• 表明在湍流等动力系统中，MFI作为建模指导原则是不足的，必须通过一个独立的公理——湍流参考系无关性（TFI）——来补充，以保持纳维-斯托克斯方程的不变结构。
• 提出一种新颖的建模假设，允许将平均速度场作为相对的、非客观变量（速度差）纳入，从而增强与广义热力学及湍流中物理观测的一致性。
• 证明经典热力学本构关系是更高阶双曲系统的近似，且通量的参考系依赖性仅源于迭代近似过程，而非基本物理规律。

提出的方法

• 区分张量（由变换法则定义）与非张量，表明形式不变性（张量行为）并不蕴含参考系无关性（客观性）。
• 分析关键场（速度、应变率、涡度）在伽利略变换与欧氏变换下的变换行为，以分类其为客观或非客观。
• 提出简化MFI（r-MFI）原理，仅将本构建模限制在惯性伽利略参考系中，避免非惯性变换带来的非物理解约束。
• 提出湍流参考系无关性（TFI）公理，确保湍流模型尊重确定性纳维-斯托克斯方程在所有参考系变换下的不变性质。
• 将类麦克斯韦迭代方案应用于广义热力学中的扩展平衡律，表明经典抛物型通量关系是双曲型、参考系无关系统的一种近似。
• 构建一种新颖的建模假设，将平均速度场视为相对速度差，从而在不违反客观性原理的前提下，将其作为独立变量纳入模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连续介质力学中，形式不变性（协变性）与参考系无关性（客观性）之间的精确数学与物理解释区别是什么？
• RQ2 为何标准材料参考系无关性（MFI）原理并非自然的基本公理，其适用于本构建模的适当简化形式（r-MFI）是什么？
• RQ3 能否通过引入一个独立公理——湍流参考系无关性（TFI）——使湍流建模在MFI之外实现一致推进，从而保持纳维-斯托克斯方程的不变结构？
• RQ4 若平均速度场不具备客观性，如何一致地将其纳入建模变量？将其视为相对速度差的物理依据是什么？
• RQ5 经典热力学中的本构关系在多大程度上可被视为广义热力学中更高阶、双曲型、参考系无关系统的近似？

主要发现

• 速度场是相对的、非客观的张量，但当以速度差形式表达时，可被一致地用作独立建模变量，而非绝对速度。
• 基于非惯性欧氏变换的标准MFI原理并非基本物理定律，必须由r-MFI取代，后者仅将本构建模限制在惯性伽利略参考系中。
• 在湍流建模中，MFI作为建模指导原则是不足的；必须引入一个新且独立的公理——湍流参考系无关性（TFI），以确保与纳维-斯托克斯方程不变性质的一致性。
• 广义热力学表明，经典本构关系（抛物型）是更高阶、双曲型、参考系无关系统的近似，而麦克斯韦迭代方案可将经典通量关系恢复为极限形式。
• 广义热力学中通量的迭代构造表明，通量的参考系依赖性仅出现在近似过程中（例如通过麦克斯韦迭代），而非基本本构定律（D.4）中，后者本质上是参考系无关的。
• 所提出的建模假设允许将平均速度场作为相对变量纳入，从而系统性地提升其与湍流及广义热力学中物理观测的一致性。