[论文解读] Crepant resolution conjecture in all genera for type A singularities

Jian Zhou|ArXiv.org|Nov 13, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用 23

一句话总结

本文通过使用Hurwitz-Hodge积分和虚拟局部化计算$[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n]$的等变好空间Gromov-Witten不变量，证明了类型A表面奇点的全亏格Crepant Resolution猜想。关键结果表明，在解析延拓后，好空间与它的Crepant展开之间的不变量生成函数精确匹配，从而在类型A奇点中完全证实了该猜想。

ABSTRACT

We prove an all genera version of the Crepant Resolution Conjecture of Ruan and Bryan-Graber for type A surface singularities. We are based on a method that explicitly computes Hurwitz-Hodge integrals described in an earlier paper and some recent results by Liu-Xu for some intersection numbers on the Deligne-Mumford moduli spaces. We also generalize our results to some three-dimensional orbifolds.

研究动机与目标

• 建立类型A表面奇点的全亏格Crepant Resolution猜想（CRC），扩展先前的亏格零结果。
• 使用Hurwitz-Hodge积分和最近的交点数结果，计算$[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n]$在所有亏格下的等变好空间Gromov-Witten势函数。
• 验证在解析延拓和变量替换后，好空间不变量的生成函数与展开空间不变量的匹配性。
• 将结果推广至某些三维好空间，将CRC的适用范围扩展至曲面之外。

提出的方法

• 通过早期工作导出的Hurwitz-Hodge积分，显式计算$[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n]$的Gromov-Witten势函数的平稳部分。
• 应用虚拟局部化计算Crepant展开$\widehat{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n} \times \mathbb{C}$的势函数，利用环面作用和不动点贡献。
• 使用Schur演算和对称函数恒等式，将生成函数重写为无限乘积和Eisenstein级数的形式。
• 依赖Liu-Xu关于Deligne-Mumford模空间上交点数的结果，以处理所需的Hodge积分计算。
• 通过特征和与单位根推导好空间与展开空间上同调参数之间的变量替换。
• 通过在解析延拓后匹配其级数展开，建立好空间与展开空间势函数之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于类型A表面奇点，特别是$[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n]$及其Crepant展开，全亏格Crepant Resolution猜想是否成立？
• RQ2 能否显式计算出$[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n]$在所有亏格下的等变好空间Gromov-Witten不变量的生成函数？
• RQ3 在解析延拓后，是否存在一个精确的变量替换，将好空间势函数与展开空间势函数关联起来？
• RQ4 这些结果能否推广至具有$\mathbb{C}^*$-作用并存在Crepant展开的三维好空间？

主要发现

• 在解析延拓后，$[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n]$的等变好空间Gromov-Witten不变量的生成函数与Crepant展开$\widehat{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n} \times \mathbb{C}$的势函数精确匹配。
• 势函数显式计算为$ F^{\widehat{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n} \times \mathbb{C}}(\lambda; Q_1, \dots, Q_{n-1}) = \sum_{1\leq a\leq b\leq n-1} \sum_{d=1}^{\infty} \frac{\prod_{k=a}^{b} Q_k^d}{d} \cdot \frac{1}{4\sin^2(d\lambda/2)} $。
• 好空间与展开空间参数之间的变量替换为$ Q_j = \xi_n e^{v_j} $，其中$ v_j = \frac{\sqrt{-1}}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{2 - 2\cos(2k\pi/n)} \, \xi_n^{jk} u_k $。
• 在解析延拓后，好空间势函数$ F^{[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n] \times \mathbb{C}} $与展开空间势函数在变量$ u_1, \dots, u_{n-1} $的次数≤3的多项式项内相等。
• 结果证实了$ G = \mathbb{Z}_n $情形下Bryan-Graber猜想的高亏格版本，扩展了先前的亏格零证明。
• 该方法成功推广至某些三维好空间，表明该方法具有更广泛的应用潜力。