[论文解读] Decorated Defect Construction of Gapless-SPT States

Linhao Li, Masaki Oshikawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2022

Quantum and electron transport phenomena参考文献 61被引用 14

一句话总结

本文提出了一种装饰缺陷构造方法，系统地实现并分析了一维自旋链中具有全局对称性（如 $\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ 和 $\mathbb{Z}_4^\Gamma$）的无能隙对称保护拓扑（gSPT）态。通过构建显式模型并分析扭曲边界条件与开放边界条件，作者展示了非平凡的对称荷与鲁棒的二重边界简并，建立了对无能隙系统中拓扑不变量的解析理解。

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases are one of the simplest, yet nontrivial, gapped systems that go beyond the Landau paradigm. In this work, we study an extension of the notion of SPT for gapless systems, namely, gapless symmetry protected topological states. We construct several simple gapless-SPT models using the decorated defect construction, which allow analytical understanding of non-trivial topological features including the symmetry charge under twisted boundary conditions, and boundary (quasi)-degeneracy under open boundary conditions. We also comment on the stability of the gapless-SPT models under symmetric perturbations, and apply small-scale exact diagonalization when direct analytic understanding is not available.

研究动机与目标

• 将对称保护拓扑（SPT）相的概念扩展至无能隙系统，引入无能隙 SPT（gSPT）态的概念。
• 发展一种系统化的构造方法——装饰缺陷构造，以实现并分类一维量子自旋链中的无能隙 SPT 相。
• 在无能隙系统中，对拓扑不变量进行解析表征，包括在扭曲边界条件下对称荷的计算，以及在开放边界条件下边界（准）简并的分析。
• 通过精确对角化方法研究 gSPT 相在对称微扰下的稳定性，当解析方法不足以处理时使用该方法。
• 建立 $\mathbb{Z}_4$ igSPT 模型与 Levin-Gu 模型之间的联系，确认其在基态区域的等价性。

提出的方法

• 通过装饰缺陷方法构建 gSPT 和 igSPT 模型，其中拓扑缺陷被装饰以临界自旋链，以实现非平凡的无能隙拓扑序。
• 利用 Jordan-Wigner 变换将哈密顿量精确映射为 XX 链，从而实现对扭曲边界条件下基态对称荷的解析计算。
• 应用幺正变换（如 $U_{DW}$）以解除畴壁的装饰，并将低能哈密顿量简化为便于分析的形式。
• 通过识别与哈密顿量可对易的守恒边界算符，分析开放边界条件（OBC）下的能谱，从而导致简并的基态。
• 将低能有效理论映射为具有边界条件 $\theta(0/L) = \pm \pi/2$ 的连续场论，得到能量分裂与 $1/L$ 成正比。
• 在小尺度系统中采用精确对角化方法探测稳定性，并在解析处理失效时验证解析预测。

实验结果

研究问题

• RQ1 装饰缺陷构造方法如何推广至无能隙 SPT 相？其产生的拓扑不变量是什么？
• RQ2 在 $\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ gSPT 模型中，基态在扭曲边界条件下的对称荷是什么？
• RQ3 在开放边界条件下，无能隙 SPT 相中二重边界简并的起源与性质是什么？
• RQ4 在基态结构方面，$\mathbb{Z}_4$ igSPT 模型与 $\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ gSPT 模型相比 Levin-Gu 模型有何异同？
• RQ5 gSPT 相在对称微扰下是否稳定？当解析方法不足以处理时，如何评估其稳定性？

主要发现

• 在 $\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ gSPT 模型中，扭曲边界条件下表现出非平凡的 $\mathbb{Z}_2^\tau$ 荷，基态满足 $\prod_j \mu^x_j |\text{GS}\rangle_{\text{tw}} = -|\text{GS}\rangle_{\text{tw}}$。
• 在开放边界条件下，$\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ gSPT 模型由于边界算符 $\mu^x_1 \tau^z_{3/2}$ 和 $\tau^z_{L+1/2}$ 与哈密顿量可对易，支持两个精确简并的基态。
• $\mathbb{Z}_4^\Gamma$ igSPT 模型在 OBC 下表现出二重边界简并，不同边界条件分支之间的能量分裂与 $1/L$ 成正比。
• $\mathbb{Z}_4$ igSPT 模型的基态区域与 Levin-Gu 模型等价，确认了在无能隙区域存在非平凡的拓扑不变量。
• $\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_4^y \times \mathbb{Z}^\mathbf{T}$ igSPT 模型在 $\mathbb{Z}_2^\mu$ 扭曲下表现出 $\mathbb{Z}_2^\mu$ 荷，满足 $U_\tau |\text{GS}\rangle_{\text{tw}}^{\mathbb{Z}_2^\mu} = -|\text{GS}\rangle_{\text{tw}}^{\mathbb{Z}_2^\mu}$，表明具有非平凡的对称保护。
• 精确对角化结果确认了 gSPT 与 igSPT 相在对称微扰下的稳定性，小系统中未观察到能级交叉。