[论文解读] Degenerate Classical Field Theories and Boundary Theories

Dylan Butson, Philsang Yoo|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用 10

一句话总结

本文在BV形式化框架下构建了退化经典场论的理论体系，使人们能够研究缺乏拉格朗日描述的场论。该工作系统地从具有边界条件的体场论构造边界场论，证明了所得到的体场论的普遍性，并将该框架应用于关键例子，如陈-西蒙斯理论、卡普斯汀-维滕理论以及一种新的三维场论——惠塔克场论。

ABSTRACT

We introduce a framework for degenerate classical field theories in the BV formalism, which allows us to discuss many interesting examples of theories which do not admit a Lagrangian description. Further, we study phase spaces and boundary conditions for classical field theories on manifolds with boundary, and from a fixed classical field theory together with a choice of boundary condition, construct a degenerate classical field theory on the boundary. We apply these ideas to many physically interesting examples including the Kapustin-Witten twists of N=4 supersymmetric Yang-Mills, Chern-Simons theory, the chiral Wess-Zumino-Witten model, chiral Toda theory, and a new 3d classical field theory called Whittaker theory.

研究动机与目标

• 将BV形式化扩展至包含缺乏拉格朗日描述的退化经典场论。
• 为流形边界上的经典场论定义相空间与边界条件。
• 从体场论与指定边界条件出发构造边界场论，以控制边界可观测量。
• 引入一个在 $N \times \mathbb{R}_{\geq 0}$ 上的普遍体场论，使得在标准边界条件下，其边界场论可同构于 $N$ 上任意给定的退化理论。
• 将该框架应用于物理与数学上重要的例子，包括卡普斯汀-维滕扭变、陈-西蒙斯理论及手征Toda理论。

提出的方法

• 利用BV-BRST形式化与导出辛几何，通过 $L_{\infty}$ 代数与移位辛结构建模经典场论。
• 引入局部同伦 $(-1)$-移位泊松结构，以描述退化经典场论。
• 应用导出模问题与Maurer–Cartan函子的概念，以描述场配置及其形变。
• 通过 $n$-移位辛形式模问题中的拉格朗日子空间交集构造边界场论，特别利用 $(-1)$-移位辛结构。
• 使用Chevalley–Eilenberg上链复形建模场配置模空间的切复形。
• 将普遍体场论定义为将退化边界理论唯一地延拓至半空间 $N \times \mathbb{R}_{\geq 0}$ 的构造，且在所有此类延拓中具有普遍性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在BV形式化中系统地表述缺乏拉格朗日描述的经典场论？
• RQ2 经典场论在带边流形上的相空间与边界条件的精确数学结构是什么？
• RQ3 如何从体经典场论与边界条件构造边界场论，且该边界场论满足何种性质？
• RQ4 能够生成给定退化经典场论作为其边界场论的普遍体场论是什么？
• RQ5 该框架对已知物理理论（如陈-西蒙斯理论、卡普斯汀-维滕理论及手征Toda理论）有何影响？

主要发现

• 本文通过选择边界条件，在体场论的边界上构造了退化经典场论，该理论控制了靠近边界处的局部可观测量。
• 证明了对于任意在流形 $N$ 上的退化经典场论，存在一个在 $N \times \mathbb{R}_{\geq 0}$ 上的普遍经典场论，使得在标准边界条件下生成的边界场论同构于 $N$ 上的原始理论。
• 该框架恢复了场论之间的已知关系：例如，惠塔克场论作为卡普斯汀-维滕理论在 $S$-对偶边界条件下的边界场论出现。
• 该构造适用于陈-西蒙斯理论，其边界场论为仿射Kac–Moody泊松顶点代数；也适用于手征Toda理论，其边界场论为经典仿射 $\mathcal{W}$-代数。
• 本文提出了一种新的三维场论——惠塔克场论，它作为卡普斯汀-维滕理论的边界场论出现，并与几何表示理论相关联。
• 通过在 $0$-移位辛空间中的拉格朗日子空间交集，实现了欧拉-拉格朗日方程解的导出模空间作为 $(-1)$-移位辛空间。