[论文解读] Deligne's conjecture for automorphic motives over CM-fields, Part I: factorization

Harald Grobner, Michael Harris+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用 3

一句话总结

本文通过结合Ichino-Ikeda-Nekovar-Harris (IINH) 公式与上同调自守形式上的上积结构，建立了CM域上自守周期与Rankin-Selberg及Asai L函数临界值之间的关系。它表明，全纯形式的自守周期可分解为上同调自守形式的乘积，且与Tate猜想所预测的动机因子分解相容，前提是IINH公式成立，并假设GL(n) L函数关于有限阶反循环特征标之扭曲的非零性猜想成立。

ABSTRACT

This is the first of two papers devoted to the relations between Deligne's conjecture on critical values of motivic $L$-functions and the multiplicative relations between periods of arithmetically normalized automorphic forms on unitary groups. The present paper combines the Ichino-Ikeda-Neal Harris (IINH) formula with an analysis of cup products of coherent cohomological automorphic forms on Shimura varieties to establish relations between certain automorphic periods and critical values of Rankin-Selberg and Asai $L$-functions of $GL(n) imes GL(m)$ over CM fields. The second paper reinterprets these critical values in terms of automorphic periods of holomorphic automorphic forms on unitary groups. As a consequence, we show that the automorphic periods of holomorphic forms can be factored as products of coherent cohomological forms, compatibly with a motivic factorization predicted by the Tate conjecture. All of these results are conditional on the IINH formula (which is still partly conjectural), as well as a conjecture on non-vanishing of twists of automorphic $L$-functions of $GL(n)$ by anticyclotomic characters of finite order.

研究动机与目标

• 探讨Deligne关于动机L函数临界值的猜想与酉群上自守周期之间乘法关系的联系。
• 分析Shimura簇上上同调自守形式的上积如何与CM域上Rankin-Selberg及Asai L函数的临界值相关联。
• 建立全纯形式自守周期在CM域上分解为上同调自守形式乘积的结果，且与Tate猜想所预测的动机因子分解相容。
• 为第二篇论文奠定基础，后者将临界值重新解释为酉群上自守周期的形式。

提出的方法

• 利用Ichino-Ikeda-Nekovar-Harris (IINH) 公式，将自守周期与L函数的特殊值联系起来。
• 在Shimura簇上应用上同调自守形式的上积结构，推导周期关系。
• 分析CM域上GL(n) × GL(m)的Rankin-Selberg与Asai L函数，将其与自守周期关联。
• 结合上同调技巧与自守表示理论，研究周期因子分解。
• 依赖于仍部分为猜想的IINH公式，以及GL(n) L函数关于有限阶反循环特征标之扭曲的非零性猜想。
• 建立周期因子分解与Tate猜想所预测的动机因子分解之间的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 酉群上全纯形式的自守周期在CM域上如何以与上同调形式相关的方式分解？
• RQ2 Rankin-Selberg与Asai L函数的临界值与Shimura簇上自守周期之间的确切关系是什么？
• RQ3 IINH公式与上同调形式上的上积结构在多大程度上能解释Deligne猜想背景下的周期关系？
• RQ4 这些周期关系如何与Tate猜想所预测的动机因子分解相一致？
• RQ5 为确保CM域上GL(n) L函数关于反循环特征标之扭曲的非零性，需要哪些条件？

主要发现

• 本文确立了酉群上全纯形式的自守周期可在CM域上分解为上同调自守形式的乘积。
• Rankin-Selberg与Asai L函数在GL(n) × GL(m)情形下的临界值，通过Shimura簇上的上积构造与自守周期相关联。
• 自守周期的因子分解与Tate猜想所预测的动机因子分解相容。
• 结果依赖于Ichino-Ikeda-Nekovar-Harris公式以及GL(n) L函数关于有限阶反循环特征标之扭曲的非零性猜想。
• 该框架为第二篇论文中将临界L值重新解释为酉群上自守周期提供了路径。
• 分析揭示了上同调自守形式、L函数特殊值与CM域上动机算术结构之间深刻的相互作用。