[论文解读] Demystification of quantum entanglement

Andrei Khrennikov|arXiv (Cornell University)|May 29, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文表明，复合系统中的量子纠缠和关联可完全通过定义在子系统希尔伯特空间笛卡尔积上的经典高斯随机场来描述，而非依赖于量子张量积形式体系。关键结果是：量子平均值——尤其是纠缠态的平均值——作为此类经典初量子场的统计平均值出现，密度算符被解释为该场的协方差算符。

ABSTRACT

One of the crucial differences between mathematical models of classical and quantum mechanics is the use of the tensor product of the state spaces of subsystems as the state space of the corresponding composite system. (To describe an ensemble of classical composite systems one uses random variables taking values in the Cartesian product of the state spaces of subsystems.) We show that, nevertheless, it is possible to establish a natural correspondence between the classical and quantum probabilistic descriptions of composite systems. Quantum averages for composite systems (including entangled) can be represented as averages with respect to classical random fields. It is essentially what Albert Einstein was dreamed of. Quantum mechanics is represented as classical statistical mechanics with infinite-dimensional phase space. While the mathematical construction is completely rigorous, its physical interpretation is a complicated problem (which will not be discussed in this paper).

研究动机与目标

• 建立经典与量子复合系统概率描述之间严格的数学对应关系。
• 通过展示纠缠源于初量子随机场中的经典关联，解决量子纠缠的观念之谜。
• 将初量子经典统计场论（PCSFT）扩展至包含纠缠态的复合系统。
• 证明薛定谔动力学与量子关联可从具有非局域动力学的经典随机过程推导得出。
• 纠正并形式化早期的启发式表述，为量子-经典对应关系提供数学上严谨的框架。

提出的方法

• 不将复合系统的量子态表示为张量积空间中的向量，而是表示为作用于希尔伯特空间笛卡尔积上的协方差算符的非对角块。
• 将初量子系统建模为取值于 $ H_1 \times H_2 $ 的高斯随机场，其中协方差算符 $ D(t) $ 控制量子平均值。
• 使用迹公式 $ \langle A \rangle = \mathrm{Tr}(D(t) A) $，从经典统计平均值恢复量子期望值。
• 构造随机过程 $ \xi(t, \omega) $，使其相关函数即使在无相互作用时也能重现量子关联。
• 通过幺正动力学 $ D(t) = V(t) D(0) V(t)^* $ 推导协方差算符 $ D(t) $ 的时间演化，其中 $ V(t) $ 为时间演化算符。
• 证明过程 $ \xi(t, \omega) $ 具有非局域性：每个子系统的动力学依赖于另一子系统的哈密顿量，即使哈密顿量中无相互作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过经典统计力学中的随机场完全重构量子纠缠与关联？
• RQ2 是否存在一种经典随机过程，其相关函数能重现量子纠缠态的相关函数？
• RQ3 如何从经典初量子场论推导出量子复合系统动力学？
• RQ4 能够重现量子平均值与关联的初量子场的数学结构是什么？
• RQ5 量子关联的非局域性是否可由底层经典随机过程的非局域性来解释？

主要发现

• 纠缠态的量子平均值可表示为笛卡尔积空间 $ H_1 \times H_2 $ 上高斯随机场的经典统计平均值，其中密度算符作为协方差算符。
• 即使哈密顿量中无相互作用项，薛定谔动力学下量子关联的时间演化也可由具有非局域动力学的经典随机过程 $ \xi(t, \omega) $ 再现。
• 过程 $ \xi(t, \omega) $ 具有非局域性：$ \xi_1(t, \omega) $ 的演化依赖于 $ \widehat{H}_2 $，反之亦然，尽管哈密顿量中无相互作用。
• 相关函数的正确表达式为 $ D_{\xi}(t,s) = V(s) \sqrt{D(0)} V^*(s) V(t) \sqrt{D(0)} V^*(t) $，纠正了文献[43]中的先前错误。
• 将量子纯态表示为 $ H_1 \times H_2 $ 中协方差算符的非对角块，而非 $ H_1 \otimes H_2 $ 中的向量，为纠缠提供了新的几何解释。
• 在无限维情形下，该框架可扩展至酉希尔伯特空间 $ \mathbf{H}_+ \subset \mathbf{H} \subset \mathbf{H}_- $，过程取值于 $ \mathbf{H}_- $，且所有结果保持不变。