[论文解读] Density of positive closed currents and dynamics of Henon-type automorphisms of C k (part I)

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文提出了一种复动力系统中正闭当前密度理论的新理论，扩展了Lelong数与凯勒交点理论。通过该框架，建立了在C^k上Henon型自同构的鞍点周期点的等分布性，为高维复动力系统提供了严谨的当前密度微积分基础工具。

ABSTRACT

We introduce a new method to prove equidistribution properties in complex dynamics of several variables. We obtain the equidistribution for saddle periodic points of Henon-type maps on C k . A key point of the method is a notion of density which extends both the notion of Lelong number and the theory of intersection for positive closed currents on Kahler manifolds. Basic calculus on the density of currents is established.

研究动机与目标

• 开发一个统一框架，用于分析复动力系统中正闭当前密度，超越现有的Lelong数与交点理论。
• 解决高维复动力系统中当前密度缺乏系统性微积分工具的问题。
• 在C^k上的Henon型自同构中建立鞍点周期点的等分布结果。
• 利用新的密度概念，将正闭当前交点理论推广到更一般的设定。
• 为研究复维数k ≥ 2中的等分布性与动力性质提供严谨的分析基础。

提出的方法

• 引入正闭当前密度的新概念，该概念同时推广了Lelong数与凯勒流形上的交点理论。
• 发展了一套用于操作与计算当前密度的微积分，以实现对其渐近行为的精确分析。
• 将密度框架应用于研究Henon型映射下鞍点周期点的分布。
• 通过分析与周期轨道相关的当前平均的弱极限，利用密度微积分证明等分布性。
• 在全纯动力系统的背景下，建立了关于密度在拉回与前推下行为的技术引理。
• 依赖Henon型自同构的结构，以确保足够正则性与控制力，从而支持等分布性证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将正闭当前的密度概念推广，以统一Lelong数与凯勒流形上的交点理论？
• RQ2 在复动力系统中，控制当前密度操作的微积分规则是什么？
• RQ3 能否利用新的密度框架，在C^k上的Henon型映射中证明鞍点周期点的等分布性？
• RQ4 全纯映射迭代下，密度映射的分析性质是什么？
• RQ5 新的密度理论如何推广到凯勒设定之外的高维复动力系统？

主要发现

• 本文成功定义了一种推广的正闭当前密度，其同时扩展了Lelong数与凯勒流形上的交点理论。
• 建立了一套完整的当前密度微积分，支持分析操作与渐近分析。
• 利用新密度框架，证明了在C^k上Henon型自同构中鞍点周期点的等分布性。
• 该方法为在经典工具失效的高维复动力系统中研究等分布性提供了系统性方法。
• 密度理论使得对当前交点与复动力系统中渐近分布的分析更加精细。
• 研究结果为未来在多变量复动力系统中研究等分布性与不变测度奠定了基础。