[论文解读] Derived smooth stacks and prequantum categories

James Wallbridge|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文通过引入 n-平移 p-预辛结构，将 Weil-Kostant 整数性定理推广至导出光滑 Artin 丛，证明积分形式分类 (p+n−1)-丛与 p-联络。构建了一个到线性 (∞,p+n−1)-范畴的典范函子，将预量化的概念推广至高阶几何与奇异空间。

ABSTRACT

The Weil-Kostant integrality theorem states that given a smooth manifold endowed with an integral complex closed 2-form, then there exists a line bundle with connection on this manifold with curvature the given 2-form. It also characterises the moduli space of line bundles with connection that arise in this way. This theorem was extended to the case of p-forms by Gajer in [Ga]. In this paper we provide a generalization of this theorem where we replace the original manifold by a derived smooth Artin stack. Our derived Artin stacks are geometric stacks on the étale (\infty,1)-site of affine derived smooth manifolds. We introduce the notion of a n-shifted p-preplectic derived smooth Artin stack in analogy with the algebraic case constructed by Pantev-Toën-Vaquié-Vezzosi in [PTVV]. This is a derived smooth Artin stack endowed with a complex closed (p+1)-form which has been cohomologically shifted by degree n. It is a far reaching generalization of a p-preplectic manifold which includes orbifolds and other highly singular objects. We then show that when its n-shifted p-preplectic form is integral, then there exists a (p+n-1)-gerbe with p-connection data and curvature corresponding to the original p-preplectic form. We also provide the characterization of the moduli stack of gerbes with connections arising in this context. We construct a canonical functor from the (\infty,1)-category of integral n-shifted p-preplectic derived smooth Artin stacks to the (\infty,1)-category of linear (\infty,p+n-1)-categories. When n=0 and p=1, this functor can be thought of like a cohomology functor in that it associates to a derived presymplectic smooth Artin stack a linear invariant in the form of a differential graded module. In the general case we obtain higher prequantum categories which requires the machinery of linear (\infty,n)-categories.

研究动机与目标

• 将 Weil-Kostant 整数性定理推广至导出光滑 Artin 丛，涵盖经典定理未覆盖的奇异空间与商空间。
• 通过引入导出与高阶范畴结构，克服经典预量化在流形上应用的局限性。
• 为高阶几何情境（特别是非横截相交与非自由群作用）提供预量化的框架。
• 刻画由积分 n-平移 p-预辛形式导出的带联络丛的模丛。
• 构建从积分 n-平移 p-预辛导出光滑 Artin 丛到线性 (∞,p+n−1)-范畴的函子，推广预量子函子。

提出的方法

• 将导出光滑 Artin 丛定义为仿射导出光滑流形上的 étale ∞-范畴上的层，推广流形与轨道丛。
• 通过具有上同调平移 n 的闭 (p+1)-形式，引入 n-平移 p-预辛导出光滑 Artin 丛的概念。
• 利用导出几何中的余切复形理论，定义并刻画导出流形间态射的相对余切复形。
• 建立余切复形的 0-同伦群与非导出情形下经典 Kähler 微分层之间的典范等价。
• 构建从积分 n-平移 p-预辛导出光滑 Artin 丛的 ∞-范畴到线性 (∞,p+n−1)-范畴的 ∞-范畴的函子。
• 利用高阶范畴工具，包括模的 ∞-范畴与 t-结构，定义并分析预量子函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Weil-Kostant 整数性定理推广至导出光滑 Artin 丛，包括奇异空间与商空间？
• RQ2 在高阶几何中，预量子线丛的正确推广是什么？其如何通过带联络的高阶丛表示？
• RQ3 在导出几何中，平移预辛形式的概念如何推广经典辛结构与可预量化的结构？
• RQ4 由积分 n-平移 p-预辛形式导出的带联络丛的模丛具有何种结构？
• RQ5 预量子函子如何推广至高阶范畴？当 n=0, p=1 时其行为如何？

主要发现

• 积分 n-平移 p-预辛导出光滑 Artin 丛可赋予一个 (p+n−1)-丛与 p-联络，其曲率即为原始的 (p+1)-形式。
• 此类带联络丛的模丛被刻画为基丛上的 (∞,p+n−1)-范畴层。
• 该构造产生一个从积分 n-平移 p-预辛导出光滑 Artin 丛的 ∞-范畴到线性 (∞,p+n−1)-范畴的 ∞-范畴的典范函子。
• 当 n=0 且 p=1 时，该函子恢复一个类同调不变量，为导出预辛 Artin 丛分配一个微分分次模。
• 导出光滑流形的余切复形在零度上恢复经典光滑 1-形式层，验证了导出定义的合理性。
• 该理论通过引入导出与高阶范畴结构，将 Gajer 对 Weil-Kostant 定理的 p-形式推广进一步拓展。