[论文解读] Dg analogues of the Zuckerman functors and the dual Zuckerman functors II

Takuma Hayashi|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文利用模型范畴理论，为微分graded（dg）Zuckerman函子及其对偶的导出函子构建了模型结构，确立了在dg对与弱对上的模范畴上的组合模型结构。主要贡献是通过左Quillen函子构造了无界导出函子，并在特征为零且群为半单的假设下，证明了投射与内射模型结构之间的等价性。

ABSTRACT

In the first part of this series of papers we constructed dg analogues of the Zuckerman functors over commutative rings and the dual Zuckerman functors over the field of complex numbers. In this paper we construct their derived functors in view of the theory of model categories.

研究动机与目标

• 在无界导出范畴的背景下，定义并构造dg Zuckerman函子及其对偶的导出函子。
• 在dg弱对与对上的模范畴上建立适合于函子导出的组合模型结构。
• 在特征为零且群为半单的假设下，证明这些模范畴上的投射与内射模型结构是Quillen等价的。
• 通过模型范畴的同伦代数方法，将先前关于dg Zuckerman函子结果的推广，实现对导出函子的系统构建。

提出的方法

• 利用模型范畴理论，特别是Quillen的框架，为dg Zuckerman函子构造导出函子。
• 应用转移定理（定理2.5.1），通过伴随函子将$K\textrm{-}\textrm{mod}$上的投射模型结构提升至$(\tilde{A},K)\textrm{-}\textrm{mod}_{w}$与$(\tilde{A},K)\textrm{-}\textrm{mod}$。
• 通过$M \bigoplus M \to M$的映射锥的$[-1]$-平移构造路径对象，以定义右同伦。
• 证明右同伦与$(\mathcal{A},K)$-模的链同伦精确对应。
• 应用Quillen等价性准则，证明恒等函子在内射与投射模型结构之间诱导出Quillen等价。
• 依赖于假设$k$为特征为零的域且$K$为半单群，以确保模型结构之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用模型范畴理论为dg Zuckerman函子的导出函子构建导出函子？
• RQ2 在何种条件下，$(\mathcal{A},K)$-模范畴上的内射与投射模型结构成为Quillen等价？
• RQ3 在弱对上的dg模背景下，链同伦与右同伦之间存在何种关系？
• RQ4 在投射模型结构下，函子$P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K,w}$与$P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K}$作为左Quillen函子的行为如何？
• RQ5 在何种条件下，模范畴之间的遗忘函子具有与导出函子相容的左伴随函子？

主要发现

• 通过从$K\textrm{-}\mathrm{mod}$转移，构造了$(\mathcal{A},K)\textrm{-}\mathrm{mod}_{w}$与$(\mathcal{A},K)\textrm{-}\mathrm{mod}$上的组合模型结构，其中纤维化为满射，弱等价为拟同构。
• 当$K$与$L$为半单群时，函子$P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K,w}$与$P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K}$在投射模型结构下为左Quillen函子。
• 无界导出函子$\mathbb{L}P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K,w}$与$\mathbb{L}P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K}$通过左Quillen性质被良好定义。
• 通过路径对象构造的右同伦与$(\mathcal{A},K)$-模的链同伦精确等价。
• 当$k$为特征为零的域且$K$为半单群时，恒等函子在$(\mathcal{A},K)\textrm{-}\mathrm{mod}_{w}$与$(\mathcal{A},K)\textrm{-}\mathrm{mod}$上的内射与投射模型结构之间诱导出Quillen等价。
• 这些模型结构是右正则的，弱等价满足两取三性质，并对重取闭包。