[论文解读] Diameter Spanner, Eccentricity Spanner, and Approximating Extremal Graph Distances: Static, Dynamic, and Fault Tolerant.

Keerti Choudhary, Omer Gold|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文提出了首个非平凡的动态且容错的算法，用于在有向加权图中维护图直径的 $(1.5 + \epsilon)$-近似值以及顶点偏心率的 $2$-近似值。该文引入了极值距离简并图（extremal-distance spanners），包括具有 $O(n^{1.5})$ 条边的 $(1.5)$-直径简并图，并实现了近乎最优的摊销更新时间，几乎匹配 $1.5$-近似直径的静态界。

ABSTRACT

The diameter, vertex eccentricities, and the radius of a graph are some of the most fundamental graph parameters. Roditty and Williams [STOC 2013] gave an $O(m\sqrt{n})$ time algorithm for computing a 1.5 approximation of graph diameter. We present the first non-trivial algorithm for maintaining `< 2'- approximation of graph diameter in dynamic setting. Our algorithm maintain a $(1.5+\epsilon)$ approximation of graph diameter that takes amortized update time of $O(\epsilon^{-1}n^{1.25})$ in partially dynamic setting. For graphs whose diameter remains bounded by some large constant, the total amortized time of our algorithm is $O(\epsilon^{-2}\sqrt{n})$, which almost matches the best known bound for static $1.5$-approximation of diameter. Backurs et al. [STOC 2018] gave an $ ilde O(m\sqrt{n})$ time algorithm for computing 2-approximation of eccentricities. They also showed that no $O(n^{2-o(1)})$ time algorithm can achieve an approximation factor better than $2$ for graph eccentricities, unless SETH fails. We present the $ ilde O(m)$ time algorithm for computing $2$-approximation of vertex eccentricities in directed weighted graphs. We also present fault tolerant data-structures for maintaining $1.5$-diameter and $2$-eccentricities. We initiate the study of Extremal Distance Spanners. Given a graph G=(V,E), a subgraph H=(V,E0) is defined to be a {\em $t$-diameter-spanner} if the diameter of $H$ is at most $t$ times the diameter of $G$. We show that for any $n$-vertex directed graph $G$ we can compute a sparse subgraph $H$ which is a $(1.5)$-diameter-spanner of $G$ and contains at most $O(n^{1.5})$ edges. We also show that this bound is tight for graphs whose diameter is bounded by $n^{1/4-\epsilon}$. We present several other extremal-distance spanners with various size-stretch trade-offs. Finally, we extensively study these objects in the dynamic and fault-tolerant settings.

研究动机与目标

• 开发首个用于维护近似图直径和顶点偏心率的动态且容错的算法。
• 填补动态算法在图直径和偏心率等极值图参数方面的研究空白，此前这些参数仅在静态设置中被研究过。
• 引入并研究极值距离简并图——一种保持近似极值距离的子图——并实现紧致的大小-伸展权衡。
• 在动态直径和偏心率近似中实现近乎最优的摊销更新时间，使其在关键情形下与已知的静态界相匹配。

提出的方法

• 设计了一种动态算法，可在部分动态图中以摊销更新时间 $O(\epsilon^{-1}n^{1.25})$ 维护图直径的 $(1.5 + \epsilon)$-近似值。
• 提出了一种新颖的 $(1.5)$-直径简并图构造方法，对任意 $n$-顶点有向图，其边数为 $O(n^{1.5})$，并证明该构造在图直径为 $O(n^{1/4 - \epsilon})$ 时是紧致的。
• 采用基于环路集（hopsets）和距离查询结构的稀疏子图构造方法，以在边更新下维护近似距离。
• 将静态 $1.5$-近似直径和 $2$-近似偏心率的技术适配到动态和容错设置中。
• 利用容错数据结构在边或顶点失效下维护简并图，确保在动态环境中的鲁棒性。
• 利用极值距离简并图与动态近似算法之间的紧密联系，实现近乎最优的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在动态图中以近乎最优的更新时间维护图直径的 $(1.5 + \epsilon)$-近似值？
• RQ2 能保持原图直径 $1.5$-近似值的子图的最小可能大小是多少？
• RQ3 我们能否在有向加权图中实现 $\tilde{O}(m)$ 时间的顶点偏心率 $2$-近似，即使在动态设置下？
• RQ4 极值距离简并图（如 $t$-直径简并图）在动态更新和故障下表现如何？
• RQ5 有向图中极值距离简并图的紧致大小-伸展权衡是什么？

主要发现

• 本文提出了一种动态算法，可在部分动态图中以摊销更新时间 $O(\epsilon^{-1}n^{1.25})$ 维护图直径的 $(1.5 + \epsilon)$-近似值。
• 对于有界直径的图（由大常数限制），总摊销时间为 $O(\epsilon^{-2}\sqrt{n})$，几乎匹配目前已知的 $1.5$-近似直径的最优静态界。
• 提出了一种新颖的 $(1.5)$-直径简并图构造，其边数为 $O(n^{1.5})$，并证明该构造在图直径为 $O(n^{1/4 - \epsilon})$ 时是紧致的。
• 本文给出了一个 $\tilde{O}(m)$-时间算法，用于在有向加权图中计算顶点偏心率的 $2$-近似值。
• 正式引入了极值距离简并图，并建立了其大小-伸展权衡的分层结构，包括 $t$-直径简并图和 $t$-偏心率简并图。
• 开发了容错数据结构，可在边或顶点失效下维持 $1.5$-直径和 $2$-偏心率近似值。