[论文解读] Diffeological Dirac operators and diffeological gluing

Ekaterina Pervova|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2017

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过使用李群微分几何（diffeology）推广伪丛、伪度量、克利福德模和联络等关键几何结构，提出了一套用于在非光滑空间上定义狄拉克算子的微分几何框架。该研究建立了一种将两个微分几何空间上的狄拉克算子进行粘合的程序，并证明在特定相容性条件下，结果仍为狄拉克算子，从而将阿蒂亚-辛格理论推广至奇异空间与非流形设置。

ABSTRACT

This manuscript attempts to present a way in which the classical construction of the Dirac operator can be carried over to the setting of diffeology. A more specific aim is to describe a procedure for gluing together two usual Dirac operators and to explain in what sense the result is again a Dirac operator. Since versions of cut-and-paste (surgery) operations have already appeared in the context of Atiyah-Singer theory, we specify that our gluing procedure is designed to lead to spaces that are not smooth manifolds in any ordinary sense, and since much attention has been paid in recent years to Dirac operators on spaces with singularities, we also specify that our approach is more of a piecewise-linear nature (although, hopefully, singular spaces in a more analytic sense will enter the picture sooner or later; but this work is not yet about them). Most of it is devoted to the diffeological versions of the components that go into the standard definition of a Dirac operator as the composition of a Clifford connection with Clifford action by sections of the cotangent bundle; a diffeological Dirac operator is then standardly defined.

研究动机与目标

• 将狄拉克算子的经典理论推广至非光滑流形的微分几何空间，特别是那些由奇异或分段线性构造产生的空间。
• 通过伪丛、伪度量和克利福德联络，定义狄拉克算子的微分几何类比，以替代标准的黎曼几何与切丛结构。
• 形式化一种将两个微分几何空间上的狄拉克算子进行粘合的程序，确保在相容性条件下结果仍为有效的狄拉克算子。
• 探讨在非光滑设置下，联络、度量和微分形式等几何结构在该粘合操作下的行为。
• 通过识别当前框架中的开放问题与局限性，为未来在解析几何与数学物理中的应用奠定基础。

提出的方法

• 将微分几何伪丛定义为向量丛的推广，配备伪度量以替代黎曼度量。
• 引入微分几何1-形式丛 $\Lambda^1(X)$ 及其对偶 $ (\Lambda^1(X))^* $，以替代经典设定中的余切丛与切丛。
• 利用 $ \Lambda^1(X) $ 上的伪度量构造微分几何克利福德代数丛，从而实现克利福德作用的定义。
• 将微分几何联络定义为标准联络的推广，从而在微分几何背景下导出Levi-Civita联络与克利福德联络。
• 正式定义微分几何狄拉克算子为复合映射 $ D = c \circ \nabla^E $，其中 $ c $ 为克利福德作用，$ \nabla^E $ 为克利福德模伪丛上的相容联络。
• 通过底层集合上的商微分几何实现粘合程序，为所得空间分配标准的商微分几何，并分析几何结构在该操作下的变换方式。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过微分同胚粘合两个微分几何空间时，在何种条件下可保持狄拉克算子的结构？
• RQ2 哪些微分几何向量伪丛允许存在伪度量？此类度量能否通过粘合操作构造？
• RQ3 在粘合操作下，伪丛的截面空间以及微分1-形式空间 $ \Omega^1(X) $ 是否满足必要的延拓条件？
• RQ4 微分几何空间上的Levi-Civita与克利福德联络是否与粘合程序相容？在何种条件下其唯一确定？
• RQ5 伪度量的相容性与粘合空间上诱导联络的相容性之间存在何种关系？

主要发现

• 微分几何狄拉克算子被定义为克利福德作用与克利福德模伪丛上相容联络的复合，推广了经典构造。
• 当粘合映射满足特定相容性条件（如保持伪度量与联络数据）时，粘合程序可保持狄拉克算子结构。
• 粘合空间上的微分几何为商微分几何，其性质较弱但对形式框架已足够充分，尽管可能不足以支持未来的分析应用。
• 本文指出，微分几何空间上存在单位分解、伪度量与联络的问题仍为开放问题，尚未建立一般存在性定理。
• 截面与微分形式在粘合下的行为取决于条件 $ \mathcal{D}_1^\Omega = \mathcal{D}_2^\Omega $，该条件通常不成立，需额外假设。
• 仍存在若干开放问题，尤其涉及一般微分几何空间上伪度量与联络的存在性，以及粘合后诱导几何结构的相容性。