[论文解读] Linear and multilinear algebra on diffeological vector spaces

Ekaterina Pervova|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文在有限维微分几何向量空间的线性与多重线性代数中建立了基础性结果，表明微分几何对偶空间为标准向量空间，并引入了光滑直和分解这一新概念。主要贡献在于识别出一个通过最大迷向子空间定义的特征商——该商在微分同胚下保持不变，从而纠正了关于特征子空间唯一性的先前错误。

ABSTRACT

This paper deals with some basic constructions of linear and multilinear algebra on finite-dimensional diffeological vector spaces. We consider the diffeological dual formally checking that the assignment to each space of its dual defines a covariant functor from the category of finite-dimensional diffeological vector spaces to the category of standard (that is, carrying the usual smooth structure) vector spaces. We verify that the diffeological tensor product enjoys the typical properties of the usual tensor product, after which we focus on the so-called smooth direct sum decompositions, a phenomenon exclusive to the diffeological setting. We then consider the so-called pseudo-metrics (diffeological analogues of scalar products), and discuss the consequent decompositions of vector spaces into a smooth direct sum of the maximal isotropic subspace and a characteristic subspace; we show that such a decomposition actually depends only on the choice of the coordinate system. Furthermore, we show that, contrary to what was erroneously claimed (by me) elsewhere, a characteristic subspace is not unique and is not invariant under the diffeomorphisms of the space on itself. The maximal isotropic subspace is on the other hand an invariant of the space itself, and this fact allows to assign to each its well-defined characteristic quotient, obtaining another functor, this time a contravariant one, to the category of standard vector spaces. After discussing the diffeological analogues of isometries, we end with some remarks concerning diffeological algebras and diffeological Clifford algebras. Perhaps a larger than usual part of the paper recalls statements that already appear elsewhere, but when this is the case, we try to accompany them with new proofs and examples.

研究动机与目标

• 将经典线性与多重线性代数构造（如对偶、张量积和同构）推广至微分几何设定。
• 阐明光滑线性映射与函子在有限维微分几何向量空间中的行为。
• 纠正关于伪度量的特征子空间唯一且不变的错误主张，并确立正确的不变对象：最大迷向子空间。
• 定义并研究特征商作为标准向量空间上的反变函子，且不依赖于基的选择。
• 探讨微分几何克利福德代数的结构及其与特征子空间的关系。

提出的方法

• 通过直接且初等的论证，证明任意有限维微分几何向量空间的微分几何对偶空间为标准向量空间。
• 证明微分几何张量积满足标准性质：结合律、交换律和分配律。
• 引入光滑直和分解的概念，其中向量空间及其光滑结构均以相容方式分解。
• 在微分几何向量空间上定义伪度量，并证明其诱导出到微分几何对偶空间的自然配对，且对任意基均存在明确定义的左逆。
• 证明尽管特征子空间依赖于基的选择，但最大迷向子空间是内在的，并定义了一个良定的商空间。
• 分析微分几何向量空间上克利福德代数的结构，表明协变克利福德代数在逆变克利福德代数中可光滑地分离。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限维微分几何向量空间的微分几何对偶空间是否携带标准光滑结构？
• RQ2 经典多重线性代数中的同构是否可在微分几何设定中实现为光滑映射？
• RQ3 微分几何向量空间上伪度量的特征子空间是否由空间本身唯一确定，还是依赖于基的选择？
• RQ4 伪度量的最大迷向子空间在空间的微分同胚下是否保持不变？
• RQ5 微分几何克利福德代数与其标准对应物之间有何关系？是否可实现光滑分解？

主要发现

• 任意有限维微分几何向量空间的微分几何对偶空间为标准向量空间，确认了这一基础性结果，并给出了新的直接证明。
• 微分几何张量积满足所有标准代数性质，包括结合律、交换律和分配律。
• 伪度量的最大迷向子空间是空间本身的不变量，不依赖于基的选择。
• 特征子空间并非唯一，且在微分同胚下不保持不变，纠正了文献中先前的错误。
• 特征商（定义为对最大迷向子空间的商）是空间的一个良定不变量，并定义了一个到标准向量空间的反变函子。
• 克利福德代数 $ C\text{\textbackslash{}ell}(V,g) $ 允许光滑直和分解，其中协变克利福德代数 $ C\text{\textbackslash{}ell}(V^{*},g^{*}) $ 可作为子代数光滑地分离。