[论文解读] Double Fell bundles over discrete double groupoids with folding

Rachel A. D. Martins|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文引入了具有折叠结构的离散双群胚上的双费尔丛与双C*-范畴，建立了双费尔线丛截面与群胚卷积代数之间的对应关系。该研究将GNS构造推广至双C*-范畴，并通过汤米塔-竹下对合构造了对偶范畴，为有限维非交换空间建模提供了一个框架。

ABSTRACT

In this paper we construct the notions of double Fell bundle and double C*-category for possible future use as tools to describe noncommutative spaces, in particular in finite dimensions. We identify the algebra of sections of a double Fell line bundle over a discrete double groupoid with folding with the convolution algebra of the latter. This turns out to be what one might call a double C*-algebra. We generalise the Gelfand-Naimark-Segal construction to double C*-categories and we form the dual category for a saturated double Fell bundle using the Tomita-Takesaki involution.

研究动机与目标

• 使用双费尔丛与双C*-范畴的范畴框架，描述非交换空间。
• 建立双费尔线丛截面代数与具有折叠结构的离散双群胚卷积代数之间的联系。
• 将盖尔范德-奈马克-塞尔格构造推广至双C*-范畴的设定。
• 利用汤米塔-竹下对合，为饱和双费尔丛定义对偶范畴。
• 通过代数与范畴结构，为有限维非交换几何提供基础工具。

提出的方法

• 在具有折叠结构的离散双群胚上构造双费尔丛，将费尔丛的概念推广至更高范畴维数。
• 将双C*-范畴定义为C*-范畴在双群胚设定下的推广。
• 将双费尔线丛截面的代数与底层双群胚的卷积代数相等化。
• 将GNS构造推广至双C*-范畴，将表示论框架扩展至更高维。
• 应用汤米塔-竹下理论，利用模自同构群，为饱和双费尔丛构造对偶范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有折叠结构的离散双群胚上定义双费尔丛，以建模非交换空间？
• RQ2 在该群胚上，双费尔线丛截面的代数结构是什么？
• RQ3 盖尔范德-奈马克-塞尔格构造能否推广至双C*-范畴的设定？
• RQ4 汤米塔-竹下对合如何为饱和双费尔丛生成对偶范畴？
• RQ5 折叠在双群胚及其相关代数的结构中起什么作用？

主要发现

• 在具有折叠结构的离散双群胚上，双费尔线丛截面的代数同构于该群胚的卷积代数。
• 所得代数结构被识别为双C*-代数，将C*-代数的概念推广至双范畴设定。
• 盖尔范德-奈马克-塞尔格构造成功推广至双C*-范畴，实现了表示论分析。
• 利用汤米塔-竹下对合，为饱和双费尔丛构造了对偶范畴，提供了对偶性框架。
• 该框架为建模有限维非交换空间提供了新的代数与范畴工具集。