[论文解读] The Space of Stability Conditions on Abelian Threefolds, and on some Calabi-Yau Threefolds

Arend Bayer, Emanuele Macrì+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用 15

一句话总结

本文通过证明关于倾斜稳定复形的广义 Bogomolov-Gieseker 型不等式，建立了阿贝尔三复乘积和某些阿贝尔型 Calabi-Yau 三复乘积上 Bridgeland 稳定结构的连通分支的存在性。作者解决了稳定性结构理论中的一个关键猜想，拓展了先前结果，并通过墙交叉分析与形变技术确认了支持性质。

ABSTRACT

We describe a connected component of the space of stability conditions on abelian threefolds, and on Calabi-Yau threefolds obtained as (the crepant resolution of) a finite quotient of an abelian threefold. Our proof includes the following essential steps: 1. We simultaneously strengthen a conjecture by the first two authors and Toda, and prove that it follows from a more natural and seemingly weaker statement. This conjecture is a Bogomolov-Gieseker type inequality involving the third Chern character of "tilt-stable" two-term complexes on smooth projective threefolds; we extend it from complexes of tilt-slope zero to arbitrary tilt-slope. 2. We show that this stronger conjecture implies the so-called support property of Bridgeland stability conditions, and the existence of an explicit open subset of the space of stability conditions. 3. We prove our conjecture for abelian threefolds, thereby giving reproving and generalizing a result by Maciocia and Piyaratne. Important in our approach is a more systematic understanding on the behaviour of quadratic inequalities for semistable objects under wall-crossing, closely related to the support property.

研究动机与目标

• 在阿贝尔三复乘积及其相关 Calabi-Yau 三复乘积上，建立 Bridgeland 稳定结构连通分支的存在性。
• 证明光滑射影三复乘积上倾斜稳定双项复形的广义 Bogomolov-Gieseker 型不等式，扩展至倾斜斜率非零的对象。
• 通过二次不等式与墙交叉行为，验证 Bridgeland 稳定结构的支持性质。
• 通过形变与对偶技术，将先前关于 Picard 秩为一的三复乘积的结果推广至高秩情形。
• 通过 BKR 等价与 G-等变归纳，确认 Kummer 三复乘积上稳定性条件的存在性。

提出的方法

• 证明倾斜稳定对象广义猜想型 Bogomolov-Gieseker 不等式的强化版本，适用于任意倾斜斜率，而不仅限于零斜率。
• 利用广义不等式，通过上同调格上的二次型推导出 Bridgeland 稳定结构的支持性质。
• 应用形变技术于倾斜稳定性条件，表明其可延拓为具有受控 t-结构的非常弱稳定性条件。
• 在稳定性条件空间中应用墙交叉分析，表明在由有理参数定义的区域内部，倾斜稳定性保持不变。
• 利用 BKR 等价性，从阿贝尔三复乘积的 G-等变导出范畴诱导出 Kummer 三复乘积上的稳定性条件。
• 利用中心特征仅依赖于 Chern 特征的次数 $H^{3-i}\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits_i$，$i=0,1,2,3$ 的事实，构造显式稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义 Bogomolov-Gieseker 不等式对倾斜稳定复形是否对所有倾斜斜率成立，而不仅限于零斜率？
• RQ2 能否从强化的 Bogomolov-Gieseker 型不等式推导出 Bridgeland 稳定结构的支持性质？
• RQ3 阿贝尔三复乘积与阿贝尔型 Calabi-Yau 三复乘积上的稳定性条件空间结构如何？
• RQ4 墙交叉行为如何影响稳定性参数形变下对象的稳定性？
• RQ5 能否通过等变方法与 BKR 等价性构造 Kummer 三复乘积上的稳定性条件？

主要发现

• 广义 Bogomolov-Gieseker 不等式对阿贝尔三复乘积上所有倾斜稳定双项复形成立，将先前结果推广至任意倾斜斜率。
• 通过二次不等式与墙交叉分析，确立了 Bridgeland 稳定结构的支持性质，确保形变理论的良好行为。
• 明确描述了阿贝尔三复乘积上稳定性条件空间的一个连通分支，其中中心特征仅依赖于 Chern 特征的次数。
• 通过 BKR 等价性与等变归纳，确认了阿贝尔型 Calabi-Yau 三复乘积与 Kummer 三复乘积上 Bridgeland 稳定结构的存在性。
• 阿贝尔三复乘积上的稳定性条件空间具有局部有限的墙与墙间结构，墙由中心特征的成比例性定义。
• 通过形变与有理逼近，证明可推广至非有理 $B$-类，通过约化至有理 $B$-类，确认了一般情形下的不等式。