[论文解读] Dynamics of D-branes II. The standard action --- an analogue of the Polyakov action for (fundamental, stacked) D-branes

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文提出了一种D-brane的新标准作用量，该作用量推广了基本弦的Polyakov作用量，将D-brane动力学表述为在具有基本模和联络的Azumaya/矩阵流形上的非阿贝尔规范sigma模型。关键贡献在于通过一阶和二阶变分推导出运动方程，为D-brane的量子化建立了一个类似于弦论中Polyakov方法的基础框架。

ABSTRACT

We introduce a new action $S_{standard}^{(ρ,h; Φ,g,B,C)}$ for D-branes that is to D-branes as the Polyakov action is to fundamental strings. This `standard action' is abstractly a non-Abelian gauged sigma model --- based on maps $φ: (X^{\!A\!z},E; abla) ightarrow Y$ from an Azumaya/matrix manifold $X^{\!A\!z}$ with a fundamental module $E$ with a connection $ abla$ to $Y$ --- enhanced by the dilaton term, the gauge-theory term, and the Chern-Simons/Wess-Zumino term that couples $(φ, abla)$ to Ramond-Ramond field. In a special situation, this new theory merges the theory of harmonic maps and a gauge theory, with a nilpotent type fuzzy extension. With the analysis developed in D(13.1) (arXiv:1606.08529 [hep-th]) for such maps and an improved understanding of the hierarchy of various admissible conditions on the pairs $(φ, abla)$ beyond D(13.2.1) (arXiv:1611.09439 [hep-th]) and how they resolve the built-in obstruction to pull-push of covariant tensors under a map from a noncommutative manifold to a commutative manifold, we develop further in this note some covariant differential calculus needed and apply them to work out the first variation --- and hence the corresponding equations of motion for D-branes --- of the standard action and the second variation of the kinetic term for maps and the dilaton term in this action. Compared with the non-Abelian Dirac-Born-Infeld action constructed in D(13.1) along the same line, the current note brings the Nambu-Goto-string-to-Polyakov-string analogue to D-branes. The current bosonic setting is the first step toward the dynamics of fermionic D-branes (cf. D(11.2): arXiv:1412.0771 [hep-th]) and their quantization as fundamental dynamical objects, in parallel to what happened to the theory of fundamental strings during years 1976--1981.

研究动机与目标

• 开发一种类似于基本弦的Polyakov作用量的D-brane动力学框架。
• 通过改进映射和联络上的可接受条件，解决从非交换流形到交换流形的协变张量拉回的障碍。
• 制定一个包含稀释子、规范场和Chern-Simons项的标准作用量，统一调和映射与规范理论结构。
• 通过作用量的一阶和二阶变分推导出D-brane动力学的运动方程。
• 为D-brane的费米子化和超越玻色子情形的理论扩展奠定基础。

提出的方法

• 在具有基本模和联络的Azumaya/矩阵流形 $(X^{ ext{Az}}, \tilde{E}; \nabla)$ 上表述D-brane动力学，其映射到目标时空 $Y$。
• 将标准作用量 $S_{\text{standard}}^{(\rho,h;\rho,g,B,C)}$ 构造为增强的非阿贝尔规范sigma模型，包含稀释子、规范理论和Ramond-Ramond Chern-Simons项。
• 在非交换流形上应用协变微分演算，以处理从非交换空间到交换空间的映射下的张量拉回。
• 计算作用量的一阶变分，以推导出映射 $\rho$ 和联络 $\nabla$ 的运动方程。
• 分析动能项和稀释子项的二阶变分，以研究稳定性和线性化动力学。
• 利用先前工作（arXiv:1606.08529, arXiv:1611.09439）中关于可接受条件和非交换几何中调和映射的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于D-brane相比基本弦具有更丰富的内部结构，如何构造一个类似Polyakov的作用量？
• RQ2 哪些几何和分析条件（可接受条件）能够确保从非交换D-brane世界体积到交换时空的一致张量拉回？
• RQ3 标准作用量的一阶和二阶变分如何导出D-brane构型的运动方程和线性化动力学？
• RQ4 标准作用量在D-brane背景下如何统一调和映射理论与非阿贝尔规范理论？
• RQ5 Ramond-Ramond Chern-Simons项在将D-brane联络和映射耦合到背景场中起什么作用？

主要发现

• 标准作用量被表述为在具有基本模和联络的Azumaya/矩阵流形上的非阿贝尔规范sigma模型，包含稀释子、规范场和Ramond-Ramond项。
• 作用量的一阶变分导出的运动方程推广了在背景场存在下的调和映射和杨-米尔斯方程。
• 计算了动能项和稀释子项的二阶变分，表明当施加运动方程时，曲率项的积分为零。
• 通过改进的可接受条件，该理论解决了从非交换流形到交换流形拉回协变张量的内在障碍。
• 该框架为基本弦的Polyakov作用量提供了一个直接类比，现已扩展至具有更丰富内部几何的D-brane。
• 该构造为D-brane的费米子化和完整量子D-brane理论的发展铺平了道路，类似于1976–1981年间弦论的历史发展。