[论文解读] Dynamics of Electrostatic MEMS Actuators

Yisong Yang, Ruifeng Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2012

Advanced MEMS and NEMS TechnologiesEngineering参考文献 12被引用 22

一句话总结

本文对具有单自由度的无阻尼静电MEMS执行器的动力学行为进行了严格的数学分析，采用能量守恒与哈密顿方法，证明在临界吸合电压以下，系统表现出对称的单停滞点周期运动；而在该电压以上时，则发生有限时间内的触碰（塌陷）。研究在弹性力为线性的情况下，给出了吸合电压、吸合坐标与停滞水平的显式表达式，并表明在非线性弹性力趋近于零的极限下，这些量单调收敛至线性情况。

ABSTRACT

Electrostatic actuators are simple but important switching devices for MEMS applications. Due to the difficulties associated with the electrostatic nonlinearity, precise mathematical description is often hard to obtain for the dynamics of these actuators. Here we present two sharp theorems concerning the dynamics of an undamped electrostatic actuator with one-degree of freedom, subject to linear and nonlinear elastic forces, respectively. We prove that both situations are characterized by the onset of one-stagnation-point periodic response below a well-defined pull-in voltage and a finite-time touch-down or collapse of the actuator above this pull-in voltage. In the linear-force situation, the stagnation level, pull-in voltage, and pull-in coordinate of the movable electrode may all be determined explicitly, following the recent work of Leus and Elata based on numerics. Furthermore, in the nonlinear-force situation, the stagnation level, pull-in voltage, and pull-in coordinate may be described completely in terms of the electrostatic and mechanical parameters of the model so that they approach those in the linear-force situation monotonically in the zero nonlinear-force limit.

研究动机与目标

• 为无阻尼静电MEMS执行器的动力学行为提供精确的数学描述，这类系统通常因强静电非线性而仅通过数值模拟研究。
• 解决MEMS执行器动力学波动方程性质缺乏解析研究的问题，因为以往多数工作集中于稳态或抛物型模型。
• 在线性与非线性弹性力模型下，建立关于吸合电压以下周期运动存在性及以上有限时间触碰（塌陷）的严格定理。
• 将分析扩展至立方非线性弹性力，并展示该方法对更一般非线性形式的适用性。
• 识别在足够高外加电压下，即使在阻尼系统中，动态触碰现象普遍发生的通用条件。

提出的方法

• 作者利用能量守恒作为首次积分，推导出无阻尼单自由度静电执行器的运动方程，将其建模为哈密顿系统。
• 在弹性力为线性的情况下，显式求解能量方程，以闭式表达式确定停滞水平、吸合电压与吸合坐标。
• 证明当外加电压低于临界吸合电压时，系统呈现周期运动，其特征为单个停滞点。
• 对于非线性（立方）弹性力情况，采用类似的基于能量的方法，并表明关键动力学量在非线性项趋近于零时单调收敛至线性情况。
• 将方法推广至具有通用弹性势能函数的归一化哈密顿系统，识别出该方法保持有效的必要凸性条件。
• 通过分析大外加电压下解的渐近行为，并运用微分不等式技术，建立在阻尼情况下的通用触碰条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有线性弹性力的无阻尼静电MEMS执行器，其精确动力学行为是什么？在临界电压以下是否表现出周期运动？
• RQ2 在弹性力为线性的情况下，能否显式计算吸合电压、吸合坐标与停滞水平？
• RQ3 当弹性力为非线性（例如立方）时，系统行为如何变化？随着非线性减弱，这些动力学量是否收敛至线性情况？
• RQ4 在何种条件下，系统在吸合阈值电压以上表现出有限时间触碰（塌陷）？
• RQ5 即使在阻尼系统中，动态触碰现象是否对足够高的外加电压普遍存在？

主要发现

• 在弹性力为线性的情况下，吸合电压、吸合坐标与停滞水平被显式确定，并与Leus和Elata的数值结果一致。
• 当外加电压低于吸合电压时，系统表现出对称的单停滞点周期运动。
• 当外加电压高于吸合电压时，解在有限时间内塌陷，可动电极在有限时间内触碰固定电极（触碰）。
• 对于立方非线性弹性力情况，停滞水平、吸合电压与吸合坐标完全由模型的静电与机械参数描述。
• 当非线性力参数趋于零时，这些量单调收敛至其线性力情况下的对应值。
• 在一般条件下（包括阻尼），当外加电压超过某一阈值时，动态触碰现象普遍发生，无论初始条件如何，这是由于奇异静电力的主导作用。