[论文解读] Energy preserving evolutions over Bosonic systems

Paul Gondolf, Tim Möbus+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用 3

一句话总结

该论文为连续变量系统中保持Sobolev型矩约束的量子马尔可夫半群建立了生成定理，从而实现了对能量约束动力学的严格微扰分析。证明了具有多项式跳跃算符且矩增长受控的GKSL形式生成元可生成迹保持半群，并推导出能量约束容量与量子Ornstein-Uhlenbeck及CAT量子比特系统稳态的定量连续性界。

ABSTRACT

The exponential convergence to invariant subspaces of quantum Markov semigroups plays a crucial role in quantum information theory. One such example is in bosonic error correction schemes, where dissipation is used to drive states back to the code-space - an invariant subspace protected against certain types of errors. In this paper, we investigate perturbations of quantum dynamical semigroups that operate on continuous variable (CV) systems and admit an invariant subspace. First, we prove a generation theorem for quantum Markov semigroups on CV systems under the physical assumptions that (i) the generator is in GKSL form with corresponding jump operators defined as polynomials of annihilation and creation operators; and (ii) the (possibly unbounded) generator increases all moments in a controlled manner. Additionally, we show that the level sets of operators with bounded first moments are admissible subspaces of the evolution, providing the foundations for a perturbative analysis. Our results also extend to time-dependent semigroups and multi-mode systems. We apply our general framework to two settings of interest in continuous variable quantum information processing. First, we provide a new scheme for deriving continuity bounds on the energy-constrained capacities of Markovian perturbations of quantum dynamical semigroups. Second, we provide quantitative perturbation bounds for the steady state of the quantum Ornstein-Uhlenbeck semigroup and the invariant subspace of the photon dissipation used in bosonic error correction.

研究动机与目标

• 建立一个针对连续变量系统中保持矩约束与不变子空间的量子马尔可夫半群的严格数学框架。
• 通过在生成元上施加矩控制条件，解决标准GKSL形式在无界情形下的失效问题。
• 实现对玻色系统中能量约束量子通道与稳态的微扰分析。
• 推导出在Lindbladian微扰下能量约束容量与稳态偏离的定量界。
• 将理论扩展至时变演化与多模系统，支持量子纠错与量子信息处理中的应用。

提出的方法

• 利用在湮灭/产生算符中具有多项式跳跃算符的GKSL形式生成元，证明在玻色系统上强连续量子马尔可夫半群的生成定理。
• 引入矩控制条件，确保生成元以受控方式增加所有矩，从而实现Sobolev空间的保持。
• 将允许的子空间定义为具有有界一阶矩的算符的水平集，这些子空间在演化下保持不变。
• 通过引理6.5建立能量约束钻石范数与加权Sobolev范数之间的等价性，将通道距离与Sobolev算子范数联系起来。
• 应用微扰理论于高斯与非高斯半群，推导出受扰通道之间钻石范数距离的界。
• 利用该框架推导出能量约束容量与稳态收敛的连续性界，适用于量子Ornstein-Uhlenbeck与光子消散动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有无界跳跃算符的GKSL形式生成元可在连续变量系统上生成迹保持的量子马尔可夫半群？
• RQ2 如何控制生成元的矩增长，以确保Sobolev型矩约束的保持？
• RQ3 在Lindbladian微扰下，能量约束量子通道容量的定量连续性界是什么？
• RQ4 微扰如何影响量子Ornstein-Uhlenbeck半群与CAT量子比特码空间的稳态？
• RQ5 该框架能否扩展至时变半群与具有不变子空间的多模玻色系统？

主要发现

• 为连续变量系统中的量子马尔可夫半群证明了一个新的生成定理，表明具有多项式跳跃算符且矩增长受控的GKSL生成元可生成迹保持演化。
• 具有有界一阶矩的算符的水平集构成允许的不变子空间，从而支持在这些子空间上动力学的微扰分析。
• 对于量子Ornstein-Uhlenbeck半群的高斯微扰，原始通道与受扰通道之间的钻石范数距离被界为 $ (1+E) u imes C( u) imes ext{max}"](1, D( u)) $，其中 $ u $ 为微扰强度。
• 证明了两个通道之间的能量约束钻石范数距离等价于差通道的加权Sobolev范数，如引理6.5所形式化。
• 推导出用于CAT量子比特纠错的光子消散半群稳态的微扰界，确保在小扰动下收敛。
• 该框架实现了对马尔可夫微扰下能量约束容量的连续性界，具有在量子通信与传感中的应用。