[论文解读] Enriched categories as a free cocompletion

Richard Garner, Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文发展了一套在张量2-范畴中丰富的双范畴理论，将经典的丰富范畴理论推广至高阶范畴。它证明了${\mathcal{V}}$-范畴、函子、变换与模的装备（equipment）可作为某种丰富双范畴在加权双极限下的自由共完备化而获得，从而通过高阶普遍性质对丰富范畴提供了普遍性刻画。

ABSTRACT

This paper has two objectives. The first is to develop the theory of bicategories enriched in a monoidal bicategory -- categorifying the classical theory of categories enriched in a monoidal category -- up to a description of the free cocompletion of an enriched bicategory under a class of weighted bicolimits. The second objective is to describe a universal property of the process assigning to a monoidal category V the equipment of V-enriched categories, functors, transformations, and modules; we do so by considering, more generally, the assignation sending an equipment C to the equipment of C-enriched categories, functors, transformations, and modules, and exhibiting this as the free cocompletion of a certain kind of enriched bicategory under a certain class of weighted bicolimits.

研究动机与目标

• 通过将经典丰富范畴理论中的张量范畴替换为张量2-范畴，发展丰富范畴的范畴化理论。
• 为从张量范畴${\mathcal{V}}$到${\mathcal{V}}$-范畴、函子、变换与模的装备的构造提供普遍性质。
• 证明该构造源于丰富双范畴设定下特定类加权双极限的自由共完备化。
• 通过将丰富函子、模与余极限的现有概念嵌入高范畴普遍构造中，实现统一与推广。

提出的方法

• 通过将作为丰富基础的张量范畴替换为张量2-范畴，对经典丰富范畴理论进行范畴化。
• 定义具有取值于张量2-范畴${\mathcal{V}}$的同伦对象的${\mathcal{V}}$-双范畴，其复合与单位1-态射在一致的可逆2-态射下定义。
• 引入${\mathcal{V}}$-双范畴的三范畴，并定义模、张量积与模之间的内蕴同态。
• 为${\mathcal{V}}$-双范畴建立Yoneda引理，并定义右模的范畴。
• 通过紧致拼接与模范畴中的伴随结构，构造加权双极限下的自由共完备化。
• 利用拼接与伴随结构的普遍性质，证明${\mathcal{C}}$-范畴的装备是某个丰富双范畴在紧致拼接下的自由共完备化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过张量2-范畴将经典丰富范畴理论扩展至高阶范畴设定？
• RQ2 ${\mathcal{V}}$-范畴、函子、变换与模的装备的普遍性质是什么？
• RQ3 加权双极限与拼接如何与丰富双范畴的自由共完备化相关联？
• RQ4 在丰富中引入局部共完备性在丰富范畴的普遍刻画中起到何种作用？
• RQ5 丰富函子的概念能否精确地作为自由共完备化构造中的紧致态射被恢复？

主要发现

• 证明了${\mathcal{V}}$-范畴、函子、变换与模的装备是某个丰富双范畴在加权双极限下的自由共完备化。
• 将${\mathcal{C}}$-范畴构造为自由共完备化，精确地恢复了丰富函子作为紧致态射，解决了先前方法中的局限性。
• 模自然地作为自由共完备化中的松散态射出现，相较于早期工作中使用的Mealy态射，提供了更自然且更一般的定义。
• 通过紧致拼接与伴随结构的普遍性质建立普遍性，其中拼接的右伴随提供了普遍构造中的逆等价。
• 证明了在${\mathcal{C}}$具备局部共完备性时，紧致拼接下的自由共完备化与${\mathcal{C}}$-范畴、函子、变换与模的范畴完全一致。
• 该结果推广了[LS02]中的早期观察，表明使用装备与局部共完备性可实现更清晰、更精确的丰富范畴普遍刻画。