[论文解读] Enriched monoidal categories I: centers

Liang Kong, Wei Yuan+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 59被引用 8

一句话总结

本文在允许背景类别变化的广义2-范畴框架下，引入了丰富（辫状）张量范畴的 $E_0$-、$E_1$- 和 $E_2$-中心。通过典范构造显式计算了这些中心，证明了丰富对称张量范畴的 $E_2$-中心同构于该范畴本身，其应用涵盖拓扑物相和高阶表示理论。

ABSTRACT

This work is the first one in a series, in which we develop a mathematical theory of enriched (braided) monoidal categories and their representations. In this work, we introduce the notion of the $E_0$-center ($E_1$-center or $E_2$-center) of an enriched (monoidal or braided monoidal) category, and compute the centers explicitly when the enriched (braided monoidal or monoidal) categories are obtained from the canonical constructions. These centers have important applications in the mathematical theory of gapless boundaries of 2+1D topological orders and that of topological phase transitions in physics. They also play very important roles in the higher representation theory, which is the focus of the second work in the series.

研究动机与目标

• 开发一种允许在不同背景类别之间进行函子映射的丰富（辫状）张量范畴的广义理论。
• 在支持背景类别变换的2-范畴框架下，定义并计算丰富范畴的 $E_0$-、$E_1$- 和 $E_2$-中心。
• 通过典范构造，提供这些中心的显式描述，特别是在对称张量背景下的情形。
• 为高阶表示理论以及凝聚 matter 物理中的应用（特别是无能隙边界和拓扑相变）奠定基础框架。
• 通过引入辫状和对称张量背景，推广经典丰富范畴理论，突破传统对称张量基范畴的限制。

提出的方法

• 引入一个具有任意背景类别的丰富范畴的2-范畴，包括辫状和对称张量类别。
• 定义可改变背景类别的广义丰富函子和自然变换，为表示理论提供灵活框架。
• 将 $E_0$-中心提出为丰富范畴的通用构造，推广了丰富设定下德林费尔德中心的概念。
• 应用典范构造，从背景类别的模结构生成丰富张量范畴和辫状张量范畴。
• 利用强单位辫状模范畴理论，刻画丰富对称张量范畴的 $E_2$-中心。
• 在特定条件下（如背景为对称且模为强单位时）建立中心与原始范畴之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将德林费尔德中心推广到非对称或辫状背景类别的丰富范畴？
• RQ2 当背景为辫状时，丰富张量范畴的 $E_1$-中心具有何种结构？
• RQ3 在典范构造下，丰富对称张量范畴的 $E_2$-中心如何与原始范畴相关联？
• RQ4 背景类别在决定丰富中心结构方面起什么作用？
• RQ5 中心构造能否在不同背景类别之间实现函子化，从而实现统一的表示理论？

主要发现

• 丰富对称张量范畴 ${\mathcal{C}}$-丰富范畴 $\mathcal{M}$ 的 $E_2$-中心同构于 $\mathcal{C}$-丰富的 $\mathfrak{Z}_2(\mathcal{M})$，表明在对称丰富下中心能恢复原始结构。
• 对于对称融合范畴 $\mathcal{E}$，其典范构造 $\mathcal{E}\mathcal{E}$ 的 $E_2$-中心同构于 $\mathcal{E}\mathcal{E}$ 本身，表明该构造在中心下具有自对偶性。
• 当 $\mathcal{A}$ 为非退化辫状融合范畴，且 $\mathcal{L}$ 为 $\mathcal{A}$-上的多融合左模时，$\mathcal{L}$ 的 $E_1$-中心的 $E_2$-中心等价于平凡范畴 $\mathbb{k}$，表明存在某种对偶性。
• $E_0$-中心通过涉及丰富自然同构和典范函子的普遍性质进行计算，推广了经典中心构造。
• $E_1$-中心在丰富张量范畴中被证明等价于丰富设定下的德林费尔德中心，将经典结果推广至丰富情境。
• 通过涉及张量单位和模结构的典范同构，显式构造出从 $Q_1$ 到 $Q_2$ 的丰富自然同构 $\alpha$，证明了中心构造的唯一性和普遍性。