[论文解读] Boundary-bulk relation for topological orders as the functor mapping higher categories to their centers

Liang Kong, Xiao-Gang Wen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 63被引用 51

一句话总结

本文通过将有能隙边界（gapped boundary）的拓扑序的体相（bulk）识别为幺正多融合n-范畴的中心，建立了拓扑序的范畴函子边界-体相关系，利用普遍性质证明了体相的唯一性。本文表明体相构造与数学上的中心构造等价，提供了一个统一高维拓扑序分类与物理对偶关系的范畴框架。

ABSTRACT

In this paper, we study the relation between topological orders and their gapped boundaries. We propose that the bulk for a given gapped boundary theory is unique. It is actually a consequence of a microscopic definition of a local topological order, which is a (potentially anomalous) topological order defined on an open disk. Using this uniqueness, we show that the notion of "bulk" is equivalent to the notion of center in mathematics. We achieve this by first introducing the notion of a morphism between two local topological orders of the same dimension, then proving that the bulk satisfying the same universal property as that of the center in mathematics. We propose a classification (formulated as a macroscopic definition) of $n+$1D local topological orders by unitary multi-fusion $n$-categories, and explain that the notion of a morphism between two local topological orders is compatible with that of a unitary monoidal $n$-functor in a few low dimensional cases. We also explain in some low dimensional cases that this classification is compatible with the result of "bulk = center". In the end, we explain that above boundary-bulk relation is only the first layer of a hierarchical structure which can be summarized by the functoriality of the bulk (or center). This functoriality also provides the physical meanings of some well-known mathematical results on fusion 1-categories. This work can also be viewed as the first step towards a systematic study of the category of local topological orders, and the boundary-bulk relation actually provides a useful tool for this study.

研究动机与目标

• 建立任意维度下拓扑序边界-体相关系的严格数学框架。
• 基于局域拓扑序的微观定义，证明给定有能隙边界时体相理论的唯一性。
• 证明幺正多融合n-范畴的数学中心概念与拓扑序物理体相精确对应。
• 利用幺正多融合n-范畴对(n+1)维局域拓扑序进行宏观分类。
• 展示体相构造的函子性，揭示拓扑序关系中潜在的分层结构。

提出的方法

• 在低维情况下，将局域拓扑序之间的映射引入为幺正张量n-函子，将物理对偶性推广至高阶范畴。
• 通过维度约化与物理构型折叠，利用普遍性质定义体相，使其与数学中心构造相匹配。
• 利用强唯一体相假说，证明任何具有边界相的物理构型都必须有唯一体相，且等价于边界范畴的中心。
• 通过在(n+1)维构型上实施折叠程序，构建中心的物理实现，使边界相成为其体相的有能隙边界。
• 证明基于幺正多融合n-范畴的分类与2+1D及以下维度的体相=中心关系相容。
• 表明拓扑序范畴中的高阶态射与弱态射对应于任意Anyon凝结与维度约化等物理过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定一个有能隙边界理论时，其拓扑序的体相理论是否唯一确定？
• RQ2 物理上的体相是否可被数学地等同于范畴的中心？
• RQ3 通过幺正多融合n-范畴对(n+1)维拓扑序进行分类，如何与边界-体相对偶性相关联？
• RQ4 函子性在拓扑序分层结构中起什么作用？
• RQ5 如任意Anyon凝结与维度约化等物理过程，如何对应于高阶范畴中的范畴构造？

主要发现

• 有能隙边界理论的体相唯一确定，满足与数学中心构造匹配的普遍性质。
• 拓扑序的物理体相在数学上等价于其边界范畴的中心，建立了物理与范畴论之间的精确对应。
• 通过幺正多融合n-范畴对(n+1)维局域拓扑序的分类，与低维中“体相=中心”的边界-体相关系相容。
• 通过折叠与维度约化构造体相，提供了范畴中心的物理实现，普遍性质确保了唯一性。
• 边界-体相关系具有函子性，形成一个分层结构，其中体相构造在维度间保持范畴结构。
• 本研究为融合1-范畴中的深刻数学结果（如Drinfeld中心作为可能体相范畴中的终对象）提供了物理诠释。