[论文解读] Entropy and Grand Lebesgue Spaces approach for Prokhorov-Skorokhod continuity of random processes, with tail estimates

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2015

Analysis of environmental and stochastic processes参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过度量熵和大勒贝格空间（GLS）建立随机过程的普罗霍罗夫-斯科罗霍德连续性的新充分条件，提供普罗霍罗夫-斯科罗霍德模的非渐近尾部估计。通过罗森塔尔型不等式和GLS范数推导出指数尾部界，实现 $ D[0,1] $ 中的弱紧致性与中心极限定理（CLT）收敛性，并给出归一化部分和尾部分布的显式矩基估计。

ABSTRACT

We present in this paper a new sufficient condition for the so-called Prokhorov-Skorokhod continuity of random processes. Our conditions will be formulated in the terms of metric entropy generated by three-dimensional distribution of the considered random process (r.p.) in the parametric set, have a convenient and closed form, and generalize some previous results. We study also the conditions for weak compactness of the sequence of random processes in this space and as a consequence the Central Limit Theorem. Our consideration based on the theory of Prokhorov-Skorokhod spaces of random processes and on the theory of Banach spaces of random variables with exponential decreasing tails of distributions, namely, on the theory of Grand Lebesgue Spaces (GLS) of random variables.

研究动机与目标

• 建立随机过程几乎必然路径属于普罗霍罗夫-斯科罗霍德空间 $ D[0,1] $ 的充分条件，确保样本路径右连续且有左极限。
• 推导普罗霍罗夫-斯科罗霍德模 $ \Delta[\xi] $ 及其连续模 $ \kappa[\xi](h) $ 的非渐近、指数尾部估计。
• 确保 $ D[0,1] $ 中随机过程序列的弱紧致性，从而在该空间中应用中心极限定理（CLT）。
• 将先前结果推广，以度量熵和大勒贝格空间（GLS）表达条件，提供一种闭式、便捷的框架。

提出的方法

• 作者利用随机过程在参数集上的三维分布的度量熵，制定普罗霍罗夫-斯科罗霍德连续性的充分条件。
• 他们应用大勒贝格空间（GLS）理论，通过矩生成函数和奥尔利奇范数表征具有指数尾部衰减的随机变量。
• 关键技术工具是罗森塔尔不等式，经调整用于控制归一化和 $ S_n(t) = n^{-1/2} \sum_{j=1}^n \xi_j(t) $ 的 $ p $ 阶矩，其中 $ K_R(p) \leq C_A \cdot p / \ln p $。
• 他们定义函数 $ y(p) = \sup_{s \in (0,1)} \sup_{(r,t) \in R(s)} |\delta[\xi](r,s,t)|_p $，用于量化增量的波动性并控制连续模。
• 引入一个单调函数 $ B $，使得 $ |\delta[\xi](r,s,t)|_p \leq |B(t) - B(r)| \cdot y(p) $，从而实现对样本路径变差的控制。
• 通过在 $ p \in [2,b) $ 上优化，推导出尾部界，得到以 $ u $、$ y(p) $ 和连续模 $ \omega[B](2h) $ 表示的指数衰减率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种熵与GLS条件下，可保证随机过程的普罗霍罗夫-斯科罗霍德连续性？
• RQ2 如何为普罗霍罗夫-斯科罗霍德模 $ \Delta[\xi] $ 及其连续模 $ \kappa[\xi](h) $ 推导出非渐近、指数尾部估计？
• RQ3 何种条件可确保 $ D[0,1] $ 中随机过程序列的弱紧致性，从而实现CLT的应用？
• RQ4 罗森塔尔型不等式与GLS范数如何改进现有关于 $ D[0,1] $ 中尾部分布与收敛性的结果？

主要发现

• 本文证明：若 $ y(p) \leq C_1 p^{1/m} \ln^s p $，则对 $ u \geq e $，有 $ \sup_n \mathbf{P}(\Delta[S_n] > u) \leq \exp\left\{ -C_2 u^{m/(m+1)} |\ln u|^{m(s-1)/(m+1)} \right\} $。
• 对于连续模，当 $ u > e \cdot \omega[B](2h) \cdot |\ln \omega[B](2h)|^{1+1/m} $ 时，有 $ \sup_n \mathbf{P}(\kappa[S_n](h) > u) \leq 2 (\omega[B](2h))^{-1} \exp\left\{ -C_3 \left( u / \omega[B](2h) \right)^{m/(m+1)} |\ln(u / \omega[B](2h))|^{m(s-1)/(m+1)} \right\} $。
• 建立了 $ \sup_n \mathbf{E} F(S_n) \to \mathbf{E} F(S_\infty) $ 对 $ D[0,1] $ 上有界连续泛函 $ F $ 成立，确认了该空间中的弱收敛性与CLT。
• 使用罗森塔尔不等式且 $ K_R(p) \leq C_A p / \ln p $，其中 $ C_A \approx 0.6535 $，可实现精确的矩控制与尾部分布估计。
• 该框架通过以GLS范数和度量熵表达条件，推广了先前结果，提供一种闭式、可解析处理的判据。
• 结果适用于鞅差分与不连续过程，对非参数统计与蒙特卡洛积分具有启示意义。