[论文解读] Equitable Allocations of Indivisible Goods

Rupert Freeman, Sujoy Sikdar+2 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2019

Game Theory and Voting Systems参考文献 46被引用 5

一句话总结

本文研究在可加估值下不可分物品的公平分配问题，提出算法可同时保证公平性（EQ1）与帕累托最优性（PO）。针对严格正估值，提出一种伪多项式时间算法；证明在特殊情况下EQ1+PO分配存在且可高效计算，而在一般情况下则为强NP难。此外，还为Santa Claus问题在EQx+PO分配下建立了近似保证。

ABSTRACT

In fair division, equitability dictates that each participant receives the same level of utility. In this work, we study equitable allocations of indivisible goods among agents with additive valuations. While prior work has studied (approximate) equitability in isolation, we consider equitability in conjunction with other well-studied notions of fairness and economic efficiency. We show that the Leximin algorithm produces an allocation that satisfies equitability up to any good and Pareto optimality. We also give a novel algorithm that guarantees Pareto optimality and equitability up to one good in pseudopolynomial time. Our experiments on real-world preference data reveal that approximate envy-freeness, approximate equitability, and Pareto optimality can often be achieved simultaneously.

研究动机与目标

• 研究在可加估值下不可分物品的公平分配的存在性与计算方法，特别是与帕累托最优性（PO）相结合的情况。
• 通过整合公平性与经济效率，扩展先前关于近似公平性（EQx、EQ1）的研究，弥补现有文献中的空白。
• 确定公平且帕累托最优的分配是否可以共存，若能，其成立条件及计算复杂度如何。
• 评估EQx+PO与EQ1+PO分配在Santa Claus问题中的近似质量，该问题是经典的公平分配目标。
• 通过Spliddit的真实偏好数据验证理论结果，评估在实践中实现近似无 envy、公平性与帕累托最优性的可行性。

提出的方法

• 提出一种新颖的伪多项式时间算法，可保证在严格正估值下实现EQ1+PO分配，通过迭代优化与效用平衡实现。
• 使用Leximin算法实现EQx+PO分配，证明其满足对任意物品的公平性（即EQx）与帕累托最优性。
• 采用归约技术证明，在一般情况下，寻找EQ+PO或EQx+PO分配为强NP难，即使在二值估值下亦然。
• 引入EQx+PO分配下Santa Claus问题的紧近似界 $ (1 - 1/c) $，其中 $ c $ 为分配给最高效用代理的物品数。
• 采用构造性证明策略，表明在相同估值下，任何EQ1分配均能提供对Santa Claus目标的 $ \frac{1}{n} $-近似，且该界为紧致。
• 通过Spliddit的真实数据实验验证理论结果，测量近似无 envy、公平性与帕累托最优性在实际中的联合可实现性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可加估值下，不可分物品是否总存在公平分配（EQ1或EQx）且同时满足帕累托最优性（PO）？
• RQ2 寻找EQ1+PO或EQx+PO分配的计算复杂度如何？在二值或相同估值等特殊情况下是否可高效计算？
• RQ3 EQx+PO分配能否为Santa Claus问题提供非平凡近似？最佳可能的近似比是多少？
• RQ4 是否可能在一个分配中同时实现近似无 envy（EF1）、公平性（EQ1）与帕累托最优性（PO）？
• RQ5 理论上的公平性保证在实际中表现如何，特别是在真实偏好数据上的表现？

主要发现

• 对于严格正估值，EQx+PO分配始终存在，且可在多项式时间内计算，强化了先前结果。
• 在二值估值下，EQ1+PO分配可在多项式时间内计算，但一般情况为强NP难。
• Santa Claus问题可通过任何EQx+PO分配近似，近似因子为 $ (1 - 1/c) $，其中 $ c $ 为分配给最高效用代理的物品数，且该界为紧致。
• 在相同估值下，任何EQ1分配均能提供对最优Santa Claus分配的 $ \frac{1}{n} $-近似，且该界为紧致。
• 存在实例使得不存在分配能同时满足EQ1+EF1+PO，且一般情况下判断此类分配的存在性为强NP难。
• Spliddit数据实验表明，近似无 envy、近似公平性与帕累托最优性在实践中通常可同时实现。