[论文解读] Equivalence between tails, Grand Lebesgue Spaces and Orlicz norms for random variables without Cramer's condition

Yuriy Kozachenko, Eugeny Ostrovsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2017

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文在不依赖 Cramér 条件的前提下，建立了实值随机变量的尾部行为、广义勒贝格空间（GLS）范数与奥尔利奇范数之间非渐近、双边且精确至常数因子的等价关系。通过使用 Young-Fenchel 变换与尾部估计，证明了在底层函数空间满足温和的正则变体条件下，这些范数彼此等价，扩展了以往依赖指数矩条件的研究结果。

ABSTRACT

We offer in this paper the non-asymptotical pairwise bilateral exact up to multiplicative constants interrelations between the tail behavior, moments (Grand Lebesgue Spaces) norm and Orlicz's norm for random variables (r.v.), which does not satisfy in general case the Cramer's condition.

研究动机与目标

• 建立实值随机变量的尾部行为、广义勒贝格空间（GLS）范数与奥尔利奇范数之间非渐近、成对双边的相互关系。
• 消除以往研究中通常所需的 Cramér 条件假设，该假设常用于矩与尾部估计的研究。
• 在矩增长与尾部衰减的一般条件下，提供这三种范数之间的精确至常数因子等价关系。
• 将 GLS 与奥尔利奇空间理论的应用范围扩展至重尾分布与非指数衰减分布。

提出的方法

• 利用 Young-Fenchel 变换将矩生成函数与尾部衰减联系起来，从而在不依赖 Cramér 条件的前提下实现范数等价。
• 应用切比雪夫-马尔可夫不等式，从矩条件推导出尾部界，反之亦然。
• 通过函数 ψ(p) 对 p-范数进行缩放，以本质 supremum 定义广义勒贝格空间范数，其中假设 h(p) = p ln ψ(p) 为凸函数。
• 通过 Young-Orlicz 函数 N[ψ](u) = exp(h*(ln|u|))（当 |u| ≥ e 时）定义奥尔利奇范数，将其与 GLS 范数的对偶联系起来。
• 运用关于尾部测度随机优势的关键引理，比较不同尾部函数上的积分。
• 使用条件 G(x/K) ≤ αG(x)（其中 α ∈ (0,1)，K > 1）以确保可积性，并证明范数等价关系的逆向成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不假设 Cramér 条件的前提下，建立尾部行为、GLS 范数与奥尔利奇范数之间的等价关系？
• RQ2 对增长函数 ψ(p) 的何种条件可确保尾部衰减蕴含有限奥尔利奇范数，反之亦然？
• RQ3 矩生成函数中缓慢变体函数如何影响范数之间的等价性？
• RQ4 即使在缺乏指数矩的情况下，范数之间的等价性是否仍精确至乘法常数？

主要发现

• 在 ψ 的温和正则性条件下，尾函数 Tξ(u) ≤ exp(−h*ψ(ln(u/(CK)))) 当且仅当奥尔利奇范数 ||ξ||LN[ψ] 有限。
• 当 ψ(p) = p/L(p) 且 L 在无穷远处缓慢变体时，尾部估计 Tξ(x) ≤ exp(−C(L)x ln L(x)) 成立当且仅当 GLS 范数有界。
• 条件 G(x/K) ≤ αG(x)（其中 α ∈ (0,1)，K > 1）确保尾部界蕴含有限奥尔利奇范数，为逆向蕴含提供了充分条件。
• 即使 Cramér 条件不成立，范数之间的等价性仍精确至乘法常数，这推广了以往仅限于轻尾分布的研究结果。
• 反例表明，当 ψ(p) 具有紧支集（即 b < ∞）时，等价性不成立，因此紧支集情形仍为开放问题。
• 结果可推广至 ψ(p) = p^{1/m}L(p) 与 ψ(p) = cp[ln(p+1)]^r L(ln p) 的情形，其中 L 为缓慢变体函数，证实了其广泛应用性。