[论文解读] Equivariant Open Gromov-Witten Theory of $\mathbb{R}\mathbb{P}^{2m} \hookrightarrow \mathbb{C}\mathbb{P}^{2m}$

Amitai Netser Zernik|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过模空间的球面爆破和扩展等变形式，利用解析空间的斯托克斯定理，为拉格朗日子流形嵌入 $\mathbb{R}\mathbb{P}^{2m} \hookrightarrow \mathbb{C}\mathbb{P}^{2m}$ 引入了等变开放 Gromov-Witten 不变量。该理论建立了这些形式的斯托克斯定理，使得不变量可定义为在解析空间上的积分，其编码了 $\mathbb{R}\mathbb{P}^{2m}$ 的等变上同调的量子形变，并在 $m=1$ 时退化为 Welschinger 不变量。该构造为后续工作中这些不变量的不动点公式奠定了基础。

ABSTRACT

We define equivariant open Gromov-Witten invariants for $\mathbb{R}\mathbb{P}^{2m} \hookrightarrow \mathbb{C}\mathbb{P}^{2m}$ as sums of integrals of equivariant forms over resolution spaces, which are blowups of products of moduli spaces of stable disc-maps modeled on trees. These invariants encode the quantum deformation of the equivariant cohomology of $\mathbb{R}\mathbb{P}^{2m}$ by holomorphic discs in $\mathbb{C}\mathbb{P}^{2m}$ and, for $m=1$, specialize to give Welschinger's signed count of real rational planar curves in the non-equivariant limit.

研究动机与目标

• 通过稳定盘映射模空间的解析构造，为对 $(\mathbb{C}\mathbb{P}^{2m}, \mathbb{R}\mathbb{P}^{2m})$ 定义等变开放 Gromov-Witten 不变量。
• 构建一个满足斯托克斯定理的扩展等变微分形式复形，使得积分可定义不变量。
• 提供一个框架，通过 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{2m}$ 中的全纯盘，编码 $\mathbb{R}\mathbb{P}^{2m}$ 的等变上同调的量子形变。
• 为后续工作 [18] 中计算这些不变量的不动点公式奠定基础。
• 将 Welschinger 对实有理曲线的带符号计数推广至 $m=1$ 时的等变设置。

提出的方法

• 通过稳定盘映射模空间的乘积的递归球面爆破，构造解析空间 $\widetilde{M}_b^r$，其索引为带标签的树。
• 定义一个扩展等变形式复形 $(\Omega_b, D)$，其行为如同具有环作用的闭流形，满足 $\int_b D\omega = 0$。
• 利用遗忘映射 $\operatorname{For}_b^r: \widetilde{M}_b^r \to \widehat{M}_b^r$ 将解析空间与标记点更少的稳定映射模空间联系起来。
• 在 $L \times L$ 中沿对角子流形进行球面爆破构造，利用横截性，将 $\widetilde{M}_b^r$ 定义为包含评估映射的拉直正方形。
• 在稳定盘映射模空间上引入相对定向系统，以确保积分的一致性。
• 应用同调微扰引理，减少弱边界上同闭链构造中的选择，从而将积分与 A∞-代数视角联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管模空间存在边界障碍，如何为拉格朗日子流形 $\mathbb{R}\mathbb{P}^{2m} \hookrightarrow \mathbb{C}\mathbb{P}^{2m}$ 一致地定义等变开放 Gromov-Witten 不变量？
• RQ2 解析空间和球面爆破在构建开放不变量的良定积分理论中起什么作用？
• RQ3 在具有角点的轨道簇与环作用的背景下，如何表述并应用斯托克斯定理以确保不变性？
• RQ4 这些不变量以何种方式编码了 $\mathbb{R}\mathbb{P}^{2m}$ 的等变上同调的量子形变？
• RQ5 当 $m=1$ 且等变参数设为零时，这些不变量如何退化为 Welschinger 对实有理平面曲线的带符号计数？

主要发现

• 等变开放 Gromov-Witten 不变量被定义为解析空间 $\widetilde{M}_b^r$ 上的积分 $I(k,\vec{l},\beta) = \int_b \omega_{(k,\vec{l},\beta)}$，其中 $\omega_{(k,\vec{l},\beta)}$ 为扩展等变形式。
• 扩展形式复形 $\Omega_b$ 支持斯托克斯定理：$\int_b D\omega = 0$，确保不变量良定且与选择无关。
• 当 $m=1$ 时，不变量在非等变极限下退化为 Welschinger 对实有理平面曲线的带符号计数，即通过 $\mathbb{R}\mathbb{P}^2$ 中的 $k$ 个点和 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2$ 中 $l$ 个共轭对称点的曲线。
• 解析空间 $\widetilde{M}_b^r$ 被构造为带标签树索引的稳定盘映射模空间乘积的迭代球面爆破，以解析模空间的边界分量。
• 该构造在 Solomon 与 Tukachinsky 的 A∞-代数视角与积分理论方法之间建立了桥梁，其中势函数 $\Phi(w)$ 编码了 $\mathbb{R}\mathbb{P}^{2m}$ 的等变上同调的量子形变。
• 本文所建立的框架为 [18] 中的不动点公式提供了基础，该公式通过将不变量简化为不动点支集的贡献，从而简化了其计算。