[论文解读] Ergodic complex structures on hyperkahler manifolds

Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 33被引用 8

一句话总结

该论文证明了具有 $ b_2 > 3 $ 的超凯勒流形以及维度 $ \geq 2 $ 的复环面，除了一个可数的极大 Picard 秩情形外，均存在遍历复结构——即在映射类群作用下轨道稠密的复结构。利用 Ratter 定理与扭积几何，证明了这些流形是 Kobayashi 非双曲的，从而解决了超凯勒几何中关于双曲性的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

Let $M$ be a compact complex manifold. The corresponding Teichmuller space $\Teich$ is a space of all complex structures on $M$ up to the action of the group of isotopies. The group $Γ$ of connected components of the diffeomorphism group (known as the mapping class group) acts on $\Teich$ in a natural way. An ergodic complex structure is the one with a $Γ$-orbit dense in $\Teich$. Let $M$ be a complex torus of complex dimension $\geq 2$ or a hyperkahler manifold with $b_2>3$. We prove that $M$ is ergodic, unless $M$ has maximal Picard rank (there is a countable number of such $M$). This is used to show that all hyperkahler manifolds are Kobayashi non-hyperbolic.

研究动机与目标

• 建立在具有 $ b_2 > 3 $ 的超凯勒流形及维度 $ \geq 2 $ 的复环面上存在遍历复结构，排除一个可数的极大 Picard 秩情形。
• 证明映射类群在这些流形的 Teichmüller 空间上的作用是遍历的，意味着一般复结构的轨道是稠密的。
• 应用遍历理论与 Ratter 定理，证明非遍历复结构恰好是那些具有极大 Picard 秩的结构。
• 通过证明遍历复结构是非双曲的且其轨道在 Teichmüller 空间中稠密，证明所有此类超凯勒流形均为非双曲的。
• 将已知的非双曲性结果（例如 K3 曲面、广义 Kummer 变量）推广至所有具有 $ b_2 > 3 $ 的超凯勒流形。

提出的方法

• 将 Teichmüller 空间 $ \operatorname{\sf Teich} $ 定义为流形 $ M $ 上所有复结构的集合关于同伦群 $ \operatorname{Diff}_0(M) $ 的商空间，映射类群 $ \Gamma = \operatorname{Diff}(M)/\operatorname{Diff}_0(M) $ 自然作用于 $ \operatorname{\sf Teich} $。
• 利用 Ratter 的齐次空间上单群流的轨道闭包定理，证明 $ \Gamma $-轨道要么是闭的，要么是稠密的，且非遍历结构恰好对应于具有极大 Picard 秩的结构。
• 应用 Brody 引理与 Kobayashi 拟度量的下半连续性，证明若一个遍历复结构是非双曲的，则其附近及极限处的所有复结构也均为非双曲的。
• 构造扭积空间 $ \operatorname{Tw}(M) $ 为 $ \mathbb{C}P^1 $ 上的全纯族，参数化由超凯勒三元组 $ (I,J,K) $ 诱导的复结构，并利用 Campana 的结果：此类空间包含整曲线。
• 证明当 $ b_2 > 3 $ 时，扭积族的空间实维数大于 $ b_2 - 3 $，因此通过非遍历结构的族集合测度为零，意味着一般扭积族的纤维均为遍历的。
• 利用如下事实：单个非双曲的遍历纤维即可推出 Teichmüller 空间中所有复结构均为非双曲的，这是由于非双曲性集合在 $ \operatorname{\sf Teich} $ 中是闭集且轨道稠密。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有 $ b_2 > 3 $ 的超凯勒流形是否具有在 Teichmüller 空间中 $ \Gamma $-轨道稠密的复结构？
• RQ2 超凯勒流形与复环面上的非遍历复结构的精确刻画是什么？
• RQ3 是否可利用遍历性推导出整个形变空间的全局性质，如非双曲性？
• RQ4 非遍历复结构的集合是否可数？若可数，其发生的几何条件是什么？
• RQ5 遍历复结构的存在是否意味着所有超凯勒流形均为 Kobayashi 非双曲的？

主要发现

• 在具有 $ b_2 > 3 $ 的超凯勒流形或维度 $ \geq 2 $ 的复环面上，非遍历复结构的集合是可数的，且恰好由具有极大 Picard 秩的结构组成。
• 对于此类流形，映射类群 $ \Gamma $ 在 Teichmüller 空间上的作用是遍历的，意味着一般复结构的 $ \Gamma $-轨道是稠密的。
• 所有具有 $ b_2 > 3 $ 的紧致超凯勒流形上的 Kobayashi 拟度量恒为零，意味着它们均为非双曲的。
• 若存在一个非双曲的遍历复结构，则该流形上所有复结构均为非双曲的，这是由于非双曲性集合在 $ \operatorname{\sf Teich} $ 中是闭集且轨道稠密。
• 在具有 $ b_2 > 3 $ 的超凯勒流形上，一般扭积族仅包含遍历纤维，因为通过非遍历结构的族集合在所有扭积族空间中测度为零。
• 该结果将早期关于 K3 曲面与广义 Kummer 变量的非双曲性结果推广至所有具有 $ b_2 > 3 $ 的超凯勒流形，借助遍历理论与扭积几何。