[论文解读] Estimating diagonal entries of powers of sparse symmetric matrices is BQP-complete

Dominik Janzing, Paweł Wocjan|ArXiv.org|Jun 27, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文证明了估计稀疏对称矩阵幂的对角线元素是 BQP-完全的，建立了量子计算复杂性与矩阵分析之间的直接联系。该问题可通过相位估计算法和测量在量子计算机上高效求解，并通过将量子线路编码为稀疏矩阵，其谱矩能区分接受与拒绝结果，从而完整捕获 BQP 的计算能力。

ABSTRACT

Let A be a real symmetric matrix of size N such that the number of the non-zero entries in each row is polylogarithmic in N and the positions and the values of these entries are specified by an efficiently computable function. We consider the problem of estimating an arbitrary diagonal entry (A^m)_jj of the matrix A^m up to an error of εb^m, where b is an a priori given upper bound on the norm of A, m and εare polylogarithmic and inverse polylogarithmic in N, respectively. We show that this problem is BQP-complete. It can be solved efficiently on a quantum computer by repeatedly applying measurements of A to the jth basis vector and raising the outcome to the mth power. Conversely, every quantum circuit that solves a problem in BQP can be encoded into a sparse matrix such that some basis vector |j> corresponding to the input induces two different spectral measures depending on whether the input is accepted or not. These measures can be distinguished by estimating the mth statistical moment for some appropriately chosen m, i.e., by the jth diagonal entry of A^m. The problem is still in BQP when generalized to off-diagonal entries and it remains BQP-hard if A has only -1, 0, and 1 as entries.

研究动机与目标

• 通过涉及稀疏对称矩阵的自然矩阵问题来刻画复杂性类 BQP。
• 证明在特定精度与稀疏性约束下，估计矩阵幂的对角线元素既属于 BQP 又是 BQP-难的。
• 将结果推广至仅含 {−1, 0, 1} 元素的矩阵，证明 BQP-完全性结果具有鲁棒性。
• 建立量子计算与稀疏矩阵谱测度之间的联系，为 BQP 的计算能力提供新视角。

提出的方法

• 使用量子相位估计算法测量稀疏对称矩阵 A 作用于基态 |j⟩ 时的谱分布。
• 通过在 |j⟩ 上重复测量 A 并对结果的 m 次幂取平均，估计谱测度的 m 阶矩。
• 将 BQP 量子线路编码为稀疏对称矩阵 A，使得 |j⟩ 的谱测度取决于输入是否被接受或拒绝。
• 通过构造 A 为酉矩阵的实部，确保其算子范数 ≤ 1，从而实现有界误差的缩放。
• 通过受控方式构造 A，其元素属于 {−1, 0, 1}，通过重缩放由 Toffoli 与 Hadamard 门组成的电路，保持 BQP-难性。
• 利用当 m 取为 M^3 且 M 足够大时，m 阶矩 (A^m)_{jj} 在接受与拒绝输入之间存在显著差异的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 估计稀疏对称矩阵幂的对角线元素是否能完整捕获量子计算的全部能力？
• RQ2 在多项式对数稀疏性与精度约束下，该矩阵估计问题是否可在量子计算机上高效求解？
• RQ3 当矩阵元素被限制为 {−1, 0, 1} 时，BQP-完全性结果是否依然成立？
• RQ4 稀疏矩阵在基态上的谱矩是否可用于模拟任意 BQP 决策问题？
• RQ5 稀疏矩阵的结构与其中谱矩估计复杂性之间存在何种关系？

主要发现

• 在稀疏性与精度约束下，以误差 εb^m 估计 (A^m)_{jj}（其中 b 为 A 的算子范数）的问题是 BQP-完全的。
• 该估计可在量子计算机上通过重复测量与相位估计算法高效完成，以提取谱测度的 m 阶矩。
• 即使 A 仅含 {−1, 0, 1} 元素，该问题仍保持 BQP-难，表明结果对元素取值限制具有鲁棒性。
• 当 m 足够大（取为 M^3）时，若输入不在语言 L 中，则对角线元素 (A^m)_{jj} 超过 1/(4M)；若在 L 中，则小于 −1/(4M)，从而可通过阈值判断实现决策。
• 构造确保 |j⟩ 的谱测度依赖于量子线路的接受结果，使得对角线元素可编码计算结果。