[论文解读] Exact Calabi-Yau categories and disjoint Lagrangian spheres

Li Yin|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2019

Geometric and Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文证明了在Weinstein流形的缠绕Fukaya范畴上，精确Calabi-Yau结构施加了强烈的拓扑约束，特别是限制了成对不相交拉格朗日子流形的数量，并确保其同调类非平凡。研究显示，虽然拟膨胀（quasi-dilations）蕴含精确Calabi-Yau结构，但反之不成立，如三重点三叉型的Milnor纤维所示，其虽具有此类结构却无拟膨胀。

ABSTRACT

An exact Calabi-Yau structure, originally introduced by Keller, is a special kind of smooth Calabi-Yau structures in the sense of Kontsevich-Vlassopoulos. For a Weinstein manifold $M$, the existence of an exact Calabi-Yau structure on its wrapped Fukaya category $\mathcal{W}(M)$ imposes strong restrictions on its symplectic topology. Under the cyclic open-closed map constructed by Ganatra, an exact Calabi-Yau structure on $\mathcal{W}(M)$ induces a class $ ilde{b}$ in the degree one equivariant symplectic cohomology $\mathit{SH}_{S^1}^1(M)$. In particular, any Weinstein manifold admitting a quasi-dilation in the sense of Seidel-Solomon has an exact Calabi-Yau wrapped Fukaya category. We prove that for many Weinstein manifolds with exact Calabi-Yau $\mathcal{W}(M)$, there is an upper bound on the number of pairwise disjoint Lagrangian spheres, and the homology classes of these Lagrangian spheres are non-trivial. On the other hand, we show that the wrapped Fukaya category of the Milnor fiber of a 3-fold triple point is exact Calabi-Yau despite that there is no quasi-dilation.

研究动机与目标

• 理解Weinstein流形的缠绕Fukaya范畴上精确Calabi-Yau结构的拓扑含义。
• 研究精确Calabi-Yau结构的存在是否意味着存在拟膨胀，尤其是在缺乏此类结构的情况下。
• 建立具有精确Calabi-Yau缠绕Fukaya范畴的Weinstein流形中，成对不相交拉格朗日子流形数量的上界。
• 分析三重点三叉型的Milnor纤维的辛拓扑，表明其虽无拟膨胀，却支持精确Calabi-Yau结构。

提出的方法

• 利用Ganatra的循环开-闭映射，将缠绕Fukaya范畴上的精确Calabi-Yau结构与等变辛上同调中的类联系起来。
• 将Keller定义的精确Calabi-Yau范畴理论应用于Weinstein流形的缠绕Fukaya范畴。
• 分析在$\mathit{SH}_{S^1}^1(M)$中诱导出的类$\tilde{b}$，以推导流形的拉格朗日子流形的拓扑约束。
• 利用三重点三叉型的Milnor纤维结构作为反例，检验拟膨胀对精确Calabi-Yau结构的必要性。
• 通过范畴不变量与辛拓扑不变量，确立在精确Calabi-Yau结构存在时，拉格朗日子流形的同调非平凡性。
• 结合精确Calabi-Yau结构带来的范畴约束与辛拓扑，以限制不相交拉格朗日子流形的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 Weinstein流形的缠绕Fukaya范畴上精确Calabi-Yau结构的存在是否意味着拟膨胀的存在？
• RQ2 精确Calabi-Yau结构对成对不相交拉格朗日子流形的数量及其同调类施加了何种拓扑约束？
• RQ3 Weinstein流形是否可能在不支持拟膨胀的情况下，仍拥有精确Calabi-Yau缠绕Fukaya范畴？
• RQ4 循环开-闭映射如何将精确Calabi-Yau结构与度数为一的等变辛上同调类联系起来？
• RQ5 三重点三叉型的Milnor纤维的辛拓扑与精确Calabi-Yau结构有何关系？

主要发现

• 对于许多具有精确Calabi-Yau缠绕Fukaya范畴的Weinstein流形，成对不相交拉格朗日子流形的数量存在上界。
• 这些不相交拉格朗日子流形的同调类在环境流形中非平凡。
• 三重点三叉型的Milnor纤维支持精确Calabi-Yau缠绕Fukaya范畴，尽管其不支持拟膨胀。
• 拟膨胀的存在蕴含精确Calabi-Yau结构，但反之不成立，如Milnor纤维反例所示。
• 循环开-闭映射在$\mathit{SH}_{S^1}^1(M)$中诱导出类$\tilde{b}$，该类是此类结构存在性的关键障碍。
• 在$\mathcal{W}(M)$上存在精确Calabi-Yau结构，会引致强烈的辛拓扑约束，尤其体现在拉格朗日子流形配置上。