[论文解读] Existence and applications of Ricci flows via pseudolocality

Fei He|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 9

一句话总结

该论文在曲率和等周条件（具体为：下有界标量曲率、下有界于负二次函数的里奇曲率，以及局部近乎欧几里得的等周不等式）下，建立了完备非紧致黎曼流形上短时里奇流存在的结论——关键工具为佩雷尔曼的伪局部定理。主要贡献在于提出了一类初始曲率可能无界的里奇流存在性新定理，并在凯勒流形与统一化猜想方面具有应用价值。

ABSTRACT

We prove the short-time existence of Ricci flows on complete manifolds with scalar curvature bounded below uniformly, Ricci curvature bounded below by a negative quadratic function, and with almost Euclidean isoperimetric inequality holds locally. In particular, this result applies to manifolds with both Ricci curvature and injectivity radius bounded from below. We also study the short-time behaviour of these solutions which may have unbounded curvature at the initial time, and provide some applications. A key tool is Perelman's pseudolocality theorem.

研究动机与目标

• 在弱曲率与等周条件下，建立完备非紧致黎曼流形上短时里奇流解的存在性。
• 解决在非紧致流形上，超越一致有界曲率范围的里奇流存在性这一开放问题。
• 将佩雷尔曼的伪局部定理适用范围扩展至初始度量曲率无界的场合。
• 证明在该类流形上，最大体积增长与非负全纯双截面曲率在流演化下保持不变。
• 为凯勒情形下的丘成桐统一化猜想提供新证据。

提出的方法

• 以佩雷尔曼的伪局部定理为核心分析工具，控制初始曲率无界时的曲率演化。
• 对紧致区域施加共形变换，构造出保持标量曲率下界与等周控制的完备度量。
• 施加如下条件：liminf_{d(p,x)→∞} Ric(x)/d(p,x)^2 ≥ −L，标量曲率S ≥ −k，且所有测地球中满足δ1-几乎欧几里得等周不等式。
• 建立曲率估计：对所有t ∈ (0, (ε1 r̄)^2]，有|Rm|(x,t) ≤ A/t + 1/(ε1 r̄)^2，其中r̄ = min{r, √(1/k), √(1/Lk)}
• 利用尺度√t下的非坍塌性，确保流在正时间区间上具有紧致性与正则性。
• 应用格罗莫夫-豪斯多夫收敛与测度比较技术，证明体积增长在流演化下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，完备非紧致黎曼流形上存在初始曲率无界的短时里奇流？
• RQ2 佩雷尔曼的伪局部定理能否用于从具有弱曲率界但不完备或非紧致的初始数据构造里奇流？
• RQ3 结合近乎欧几里得的等周不等式与标量曲率和里奇曲率的下界，是否足以保证里奇流的短时存在性？
• RQ4 在上述条件下，通过伪局部性构造的里奇流是否保持最大体积增长？
• RQ5 这些流的存在性结果能否用于支持凯勒流形上的丘成桐统一化猜想？

主要发现

• 本文证明了在n≥3维完备流形上，若标量曲率有下界、里奇曲率有下界于负二次函数，且局部满足δ1-几乎欧几里得等周不等式，则存在短时里奇流。
• 解的曲率满足|Rm|(x,t) ≤ A/t + 1/(ε1 r̄)^2，对所有x ∈ M与t ∈ (0, (ε1 r̄)^2]成立，其中r̄依赖于初始曲率与几何结构。
• 对所有充分小的t > 0，流在尺度√t下为κ(n)-非坍塌，确保在正时间区间上具有紧致性与正则性。
• 当初始度量满足Vol_{g(0)}B_{g(0)}(x,s) ≥ vs^m（当s→∞时），最大体积增长在里奇流下保持不变。
• 对于满足非负全纯双截面曲率与δ(n)-几乎欧几里得等周不等式的凯勒流形，流保持非负曲率与最大体积增长，从而微分同胚于C^n。
• 该结果为丘成桐统一化猜想提供了新证据，表明在所述条件下，此类流形微分同胚于C^n。