[论文解读] Existence of infinitely many free boundary minimal hypersurfaces

Zhichao Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文证明了在维度3至7的紧致黎曼流形（边界光滑）中存在无穷多个几乎恰当嵌入的自由边界极小超曲面，解决了雅乌猜想的自由边界版本。通过适配宋的极小极大方法并借助李-周的正则性理论，作者证明了极小极大宽度无界增长，即使在边界上存在可能的接触集，也意味着存在无穷多个不同的极小超曲面。

ABSTRACT

In this paper, we prove that in any compact Riemannian manifold with smooth boundary, of dimension at least 3 and at most 7, there exist infinitely many almost properly embedded free boundary minimal hypersurfaces. This settles the free boundary version of Yau's conjecture. The proof uses adaptions of A. Song's work and the early works by Marques-Neves in their resolution to Yau's conjecture, together with Li-Zhou's regularity theorem for free boundary min-max minimal hypersurfaces.

研究动机与目标

• 解决雅乌猜想在自由边界情形下的存在性问题，即在具有边界的紧致黎曼流形中是否存在无穷多个极小超曲面。
• 将宋与马鲁埃兹-内夫斯的极小极大方法推广至自由边界情形，其中边界正则性与接触集带来了重大挑战。
• 在自由边界情形下建立极小极大宽度的增长性，通过宽度发散确保存在无穷多个不同的极小超曲面。
• 通过发展新的几何与分析工具，包括改进的嵌入弗兰克尔性质，克服非光滑边界行为与接触集带来的困难。

提出的方法

• 通过体积谱与极小极大宽度的威耳定律，将宋在闭流形上的极小极大构造方法适配至自由边界情形。
• 应用李-周关于自由边界极小超曲面的正则性定理，确保几乎恰当嵌入的光滑解具有重数1。
• 引入“接触集”的新概念，并发展一种改进的“嵌入弗兰克尔性质”，以控制重叠与相交现象。
• 在边界附近采用爆破与逼近论证，依赖于黎曼度量与向量场在 $ε$-正则化框架下的收敛性。
• 采用一列 $ε$-正则化度量与向量场，以控制极限中第二基本形式与平均曲率的发散性。
• 基于变测度收敛性与平稳性，应用紧致性论证，提取一个支持自由边界极小超曲面的极限变测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个维度为3至7的紧致黎曼流形（边界光滑）是否都包含无穷多个自由边界极小超曲面？
• RQ2 在存在非平凡接触集的情况下，自由边界情形下的极小极大宽度增长是否仍能产生无穷多个不同的极小超曲面？
• RQ3 自由边界极小超曲面的正则性理论应如何扩展，以处理非光滑边界行为与奇点？
• RQ4 在边界相切存在的情况下，对嵌入弗兰克尔性质应进行何种修改，以控制极小超曲面的相交？

主要发现

• 在维度3至7的紧致流形中，自由边界极小超曲面的极小极大宽度无界增长，意味着存在无穷多个不同的极小超曲面。
• 作者证明了在有限重数假设下，每个极小极大宽度对应一个几乎恰当嵌入的自由边界极小超曲面，且重数为1。
• 通过李-周的正则性定理，证明了即使边界不光滑，极小极大极限仍具有完全正则性，方法是聚焦于光滑边界点。
• 发展了一种新的“嵌入弗兰克尔性质”，以控制极小超曲面的相交，防止极小极大构造中的退化。
• 本文在维度3至7中解决了雅乌猜想的自由边界版本，将宋在闭流形中的结果推广至边界情形。
• 该方法成功克服了非空接触集的挑战，通过引入局部 $ε$-正则化及对第二基本形式与平均曲率的统一有界性。