[论文解读] Existence of solutions for a class of nonlinear Choquard equations with critical growth

Yong Ao|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过变分法与Nehari流形技术，在 $[\mathbb{R}^N$（$N \geq 4$）中建立了具有临界增长的一类非线性Choquard方程非平凡解的存在性。关键结果证明了在 $p = \frac{N+\alpha}{N-2}$ 且 $2 < q < 2^*$ 的条件下，涉及非局部项与次临界项的约束极小化问题存在极小化子，从而解决了临界增长情形下的存在性问题。

ABSTRACT

In this paper, we consider a class of nonlinear Choquard equations with critical growth, and we show the existence of solutions of the equations. Besides, we consider the corresponding minimizing problem and prove the existence of a minimizer.

研究动机与目标

• 在 $N \geq 4$ 的 $\mathbb{R}^N$ 中，建立一类具有临界增长的非线性Choquard方程非平凡解的存在性。
• 分析与方程相关的能量泛函结构，特别是非局部项 $(I_\alpha * |u|^p)|u|^{p-2}u$ 与次临界项 $|u|^{q-2}u$ 之间的相互作用。
• 在临界增长条件下，证明涉及Nehari流形与径向对称性的约束极小化问题存在极小化子。
• 克服由于非局部项与次临界项共存而导致的尺度不变性缺失所带来的困难，该问题使得标准尺度变换方法无法导出最小能量解。

提出的方法

• 通过在 $H^1(\mathbb{R}^N)$ 上寻求能量泛函 $I(u)$ 的临界点，利用变分法研究该问题。
• 利用Nehari流形刻画潜在解的能量水平，确保泛函在此流形上下方有界。
• 构建一个约束极小化问题，以在约束 $H(u) = 1$ 下寻找Dirichlet能量 $T(u) = \int |\nabla u|^2 dx$ 的极小化子，其中 $H(u)$ 综合了非局部项、次临界项与 $L^2$-项。
• 通过考虑函数的Schwarz球对称重排，利用径向对称性构造径向极小化序列。
• 应用Brezis-Lieb引理与Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，处理极限过程中的收敛性与范数估计。
• 基于函数在 $u_\sigma(x) = u(x/\sigma)$ 下的尺度性质，采用反证法排除弱极限中的消失或二分现象，从而证明非平凡极小化子的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $N \geq 4$ 时，非线性Choquard方程在临界增长 $p = \frac{N+\alpha}{N-2}$ 与次临界 $q$-增长下，是否在 $\mathbb{R}^N$ 中存在非平凡解？
• RQ2 当由于混合增长类型导致尺度变换方法失效时，能否在涉及非局部项与次临界项的约束极小化问题中找到极小化子？
• RQ3 当非局部项与次临界项共存并破坏问题的尺度不变性时，集中紧致性结构会发生什么变化？
• RQ4 在这些条件下，Nehari流形方法是否足以保证临界增长情形下基态解的存在性？
• RQ5 即使标准尺度方法无法产生最小能量解，能否证明极小化子为径向且非平凡？

主要发现

• 当 $N \geq 5$ 且 $2 < q < 2^*$，或 $N = 4$ 且 $3 < q < 4$ 时，方程 $-\Delta u + u = (I_\alpha * |u|^p)|u|^{p-2}u + |u|^{q-2}u$ 在 $\mathbb{R}^N$ 中存在非平凡解。
• 约束极小化问题 $A = \inf \left\{ \frac{1}{2}\int |\nabla u|^2 dx : H(u) = 1 \right\}$ 在 $H^1_{\text{rad}}(\mathbb{R}^N)$ 中存在极小化子，其中 $H(u)$ 综合了非局部项、次临界项与 $L^2$-项。
• 极小化子 $u_0$ 为径向且非平凡，其存在性通过反证法证明，排除了通过尺度论证导致的消失与二分现象。
• 由于非局部项与次临界项共存，尺度不变性失效，标准尺度方法无法导出最小能量解，但通过紧致性与变分分析，极小化子依然存在。
• 证明依赖于极小化序列的径向对称性、Brezis-Lieb引理由于范数收敛，以及Hardy-Littlewood-Sobolev不等式对非局部项的控制。
• 在 $\lambda_0 = 0$ 的情况下出现矛盾，源于由泛函约束导出的 $\|v_n\|_{2^*}$ 的下界，与Sobolev常数 $S$ 矛盾。