[论文解读] Exotic symplectic manifolds from Lefschetz fibrations

Maksim Maydanskiy|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 19

一句话总结

该论文在所有奇复维数中构造了一对李群流形 $W_0$ 和 $W_1$，它们微分同胚但不同痕，方法是将一个次临界胞腔附着于余切丛 $T^*S^{n+1}$ 上，其中 $n$ 为偶数。利用西德尔在卷曲弗洛尔上同调中的精确三角形，作者证明了 $W_1$ 的卷曲弗洛尔上同调范畴是平凡的，这意味着它不包含任何紧致的精确拉格朗日子流形，而 $W_0$ 包含一个精确拉格朗日球面，从而证明了它们的辛非等价性。

ABSTRACT

In this paper we construct, in all odd complex dimensions, pairs of Liouville domains W_0 and W_1 which are diffeomorphic to the cotangent bundle of the sphere with one extra subcritical handle, but are not symplectomorphic. While W_0 is symplectically very similar to the cotangent bundle itself, W_1 is more unusual. We use Seidel's exact triangles for Floer cohomology to show that the wrapped Fukaya category of W_1 is trivial. As a corollary we obtain that W_1 contains no compact exact Lagrangian submanifolds.

研究动机与目标

• 在奇复维数中构造微分同胚但不同痕的奇异辛流形。
• 利用卷曲弗洛尔上同调与卷曲弗洛尔上同调范畴区分李群流形域的辛类型。
• 证明存在一个李群流形域 $W_1$，其卷曲弗洛尔上同调范畴平凡，从而意味着不存在紧致精确拉格朗日子流形。
• 通过利希茨纤维化与弗洛尔理论不变量，提供一个尽管微分同胚但辛非等价的明确例子。

提出的方法

• 通过将一个次临界 $n$-胞腔附着于 $T^*S^{n+1}$（$n$ 为偶数）的方式，将 $W_0$ 和 $W_1$ 构造为盘上利希茨纤维化的总空间。
• 利用纤维中的消失圈与圆柱体来通过利希茨纤维化编码总空间的拓扑结构。
• 应用西德尔在弗洛尔上同调中的精确三角形，比较 $W_0$ 和 $W_1$ 中圆柱体的卷曲弗洛尔上同调群。
• 证明在 $W_1$ 中 $HW(ar{A}, ar{A}) = 0$，而在 $W_0$ 中 $HW(ar{A}, ar{A}) \neq 0$，使用谱序列与模结构。
• 利用消失的卷曲弗洛尔上同调意味着无紧致精确拉格朗日子流形的性质，通过谱序列论证。
• 利用李群流形域的完成来定义无穷远处的辛同构，并通过紧支集精确形式分析李群同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个微分同胚的李群流形域能否通过其卷曲弗洛尔上同调不变量加以区分？
• RQ2 李群流形域中卷曲弗洛尔上同调范畴的平凡性是否意味着不存在紧致精确拉格朗日子流形？
• RQ3 次临界胞腔的附着如何影响李群流形域的卷曲弗洛尔上同调与辛拓扑？
• RQ4 利希茨纤维化能否用于在同一个光滑流形上构造奇异辛结构？
• RQ5 西德尔的精确三角形在检测李群流形域中辛非等价性方面起什么作用？

主要发现

• 李群流形域 $W_0$ 和 $W_1$ 微分同胚但不同痕，提供了奇异辛流形的新一类。
• $W_1$ 的卷曲弗洛尔上同调范畴是平凡的，这由所有圆柱体的卷曲弗洛尔上同调消失所证明。
• 在 $W_1$ 中卷曲弗洛尔上同调 $HW(\bar{A}, \bar{A})$ 消失，而在 $W_0$ 中非零，从而区分了它们的辛类型。
• $W_1$ 不包含任何紧致精确拉格朗日子流形，而 $W_0$ 包含一个精确拉格朗日球面 $S^{n+1}$。
• 谱序列论证表明，若在 $W_1$ 中 $HW(L,\bar{A}) = 0$，则 $HF(L,L) = 0$，除非上同调消失，这与弗洛尔的结果矛盾。
• 该构造表明，即使光滑类型保持不变，次临界胞腔的附着仍可显著改变弗洛尔理论不变量。