[论文解读] Exponential convergence of the hp Virtual Element Method with corner singularities

Lorenzo Mascotto, L. Beirão da Veiga+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 46被引用 7

一句话总结

本论文建立了在具有角奇点的多边形网格上，2D Poisson问题的$hp$虚拟元方法的指数收敛性。通过引入一种新型稳定化项，其具有显式的$h$-和$p$-依赖界，并采用局部变化多项式度数的几何层状网格，作者证明了能量范数下的指数收敛性，将$hp$-FEM理论推广至一般多胞形网格，且无需形状正则性或匹配网格的限制。

ABSTRACT

In the present work, we analyze the $hp$ version of Virtual Element methods for the 2D Poisson problem. We prove exponential convergence of the energy error employing sequences of polygonal meshes geometrically refined, thus extending the classical choices for the decomposition in the $hp$ Finite Element framework to very general decomposition of the domain. A new stabilization for the discrete bilinear form with explicit bounds in $h$ and $p$ is introduced. Numerical experiments validate the theoretical results. We also exhibit a numerical comparison between $hp$ Virtual Elements and $hp$ Finite Elements.

研究动机与目标

• 将$hp$-虚拟元方法推广至具有角奇点的多边形网格，此类问题中经典$hp$-FEM理论适用，但VEM尚未被完全推广。
• 为离散双线性形式设计一种新型稳定化项，其在网格尺寸$h$和多项式度数$p$方面具有显式界，从而支持$hp$-分析。
• 通过采用几何层状细化网格和局部变化的多项式度数，证明具有角奇点的非光滑解的能量误差实现指数收敛。
• 通过引入多项式在多边形上的新型逆估计，消除对网格几何的限制性假设，如形状正则性或匹配网格。

提出的方法

• 为$hp$-VEM离散双线性形式引入一种新型稳定化项，其具有显式的$h$-和$p$-依赖界，确保在不同单元类型和多项式度数下的稳定性。
• 构建几何层状多边形网格，其中单元尺寸在靠近奇点（如原点）处呈指数减小，例如在层$L_0$中$h_K \approx \sigma^n$，在层$j$中$h_K \approx \sigma^{n-j}$。
• 定义一个随单元变化的局部多项式度数向量$\mathbf{p}$，满足$p_K \geq 2$，并使其随距奇点距离的增加而线性增长，以匹配网格的层状结构。
• 推导出多项式在多边形单元上的新型逆估计，这对控制稳定化项和证明$hp$-鲁棒性至关重要。
• 将能量误差分解为三部分：相容性误差、多项式空间中的最佳逼近误差，以及虚拟元空间中的最佳逼近误差，并分别使用网格和多项式度数参数进行界控。
• 在适当选择$\mathbf{p}$和几何网格序列下，综合所有误差界，实现能量范数下关于自由度数的指数收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般多边形网格上，$hp$-VEM能否对具有角奇点的问题实现与$hp$-FEM类似的指数收敛？
• RQ2 何种稳定化策略可确保在非光滑解的$hp$-VEM框架中实现$h$-和$p$-鲁棒性？
• RQ3 在存在角奇点的情况下，如何选择网格层状结构和局部多项式度数分布以优化收敛速率？
• RQ4 能否在不依赖形状正则性或匹配网格的前提下实现理论收敛？
• RQ5 为支持VEM的$hp$-分析，需要哪些关于多边形单元上多项式的新型逆估计？

主要发现

• 所提出的$hp$-VEM在具有角奇点的2D Poisson问题上，即使在非结构化多边形网格上，也能实现能量误差的指数收敛。
• 新型稳定化项在$H^1$半范数下被证明有界，且其依赖关系显式体现于$h$和$p$，从而支持严格的$hp$-分析。
• 数值实验验证了理论指数收敛速率，表明在某些配置下性能优于标准$hp$-FEM。
• 刚度矩阵的最小广义特征值按$p^{-1}$量级缩放，表明稳定性理论界较为保守，而实际条件数更优。
• 该方法在无需形状正则性或匹配网格的条件下实现指数收敛，适用于复杂几何形状和自适应加密。
• 推导并证明了一种关于多边形单元上多项式的新型逆估计，这对$hp$-VEM收敛性证明至关重要，且可能在多边形方法中具有更广泛的应用价值。