[论文解读] Extensive Rényi entropies in matrix product states

Alberto Rolandi, Henrik Wilming|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2020

Quantum many-body systems参考文献 3被引用 4

一句话总结

该论文证明，在一般、具有能隙的、平移不变的矩阵乘积态（MPS）中，对于不连通的子系统（例如每隔 k 个自旋），Rényi 量子纠缠熵在热力学极限下为广延量的充要条件是该态不收敛到一个乘积态。作者利用转移算符的展开系数和固定点谱性质，推导出熵密度的显式下界，同时针对原始量子通道，基于 Kraus 秩和熵，给出了额外的下界。

ABSTRACT

We prove that all Rényi entanglement entropies of spin-chains described by generic (gapped), translational invariant matrix product states (MPS) are extensive for disconnected sub-systems: All Rényi entanglement entropy densities of the sub-system consisting of every k-th spin are non-zero in the thermodynamic limit if and only if the state does not converge to a product state in the thermodynamic limit. Furthermore, we provide explicit lower bounds to the entanglement entropy in terms of the expansion coefficient of the transfer operator of the MPS and spectral properties of its fixed point in canonical form. As side-result we obtain a lower bound for the expansion coefficient and singular value distribution of a primitve quantum channel in terms of its Kraus-rank and entropic properties of its fixed-point. For unital quantum channels this yields a very simple lower bound on the distribution of singular values and the expansion coefficient in terms of the Kraus-rank. Physically, our results are motivated by questions about equilibration in many-body localized systems, which we review.

研究动机与目标

• 在具有能隙的、平移不变的MPS中，建立Rényi量子纠缠熵的二分法：在热力学极限下，要么为广延量，要么趋于零。
• 基于转移算符的展开系数和固定点谱数据，推导出Rényi熵密度的显式下界。
• 利用Kraus秩和固定点熵的性质，为原始、单位元、迹保持的量子通道的奇异值分布和展开系数提供新的下界。
• 将这些结果与多体局域系统中的弛豫行为联系起来，从而推动对不连通子系统纠缠的研究。

提出的方法

• 分析MPS的转移算符T及其幂T^m，以研究分块子系统的纠缠性质。
• 引入扭曲转移算符，以计算每隔k个自旋的子系统的Rényi熵密度下界s_α^(k)。
• 利用MPS的规范形式，分析对偶转移映射的固定点及其谱性质。
• 应用完全正（CP）映射和量子通道的技术，特别关注展开系数和奇异值。
• 基于Kraus秩和固定点的Rényi-2熵，推导出对展开系数和奇异值分布的下界。
• 采用谱分解和迹不等式，以界定熵密度和通道收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有能隙的、平移不变的MPS中，不连通子系统的Rényi量子纠缠熵在热力学极限下何时变为广延量？
• RQ2 Rényi熵趋于零与MPS在热力学极限下收敛到乘积态之间的确切关系是什么？
• RQ3 原始量子通道的展开系数和奇异值分布，如何用其Kraus秩和固定点熵来界定？
• RQ4 能否利用转移算符固定点的谱数据，推导出更紧的Rényi熵密度下界？
• RQ5 这些结果能否推广到非i.i.d.的MPS张量或如PEPS等高维系统？

主要发现

• 对于每隔k个自旋的子系统，所有Rényi量子纠缠熵在热力学极限下为广延量，当且仅当MPS不收敛到乘积态。
• Rényi熵密度s_α^(k)的下界由扭曲转移算符的最大特征值决定，该值可由MPS张量计算得出。
• 基于转移算符的展开系数和规范形式下固定点的谱性质，推导出s_α^(k)的显式下界。
• 对于原始、单位元、迹保持的量子通道，展开系数和奇异值分布的下界由涉及Kraus秩和固定点Rényi-2熵的表达式给出。
• 展开系数的下界在一般情况下并不紧，提示未来工作仍有改进空间。
• 结果表明，此类系统中Rényi熵的中间标度（例如√n）是不可能的，从而确认了广延与消失纠缠之间的严格二分法。