[论文解读] Fermionization in an Arbitrary Number of Dimensions

N. S. Mankoč Borštnik, H.B. Nielsen|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

International Science and Diplomacy参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在任意时空维度下的费米子化程序，表明具有 $2^{d/2-1}$ 代的自由无质量费米子，其动量和能量谱与卡勃-拉蒙德张量场系统完全等价。该对应关系通过雅可比三重乘积恒等式建立，借助阿拉廷-尼尔森定理确保自由度匹配，并可扩展至弱引力背景，暗示了一种超越标准模型的普遍玻色化框架。

ABSTRACT

One purpose of this proceedings-contribution is to show that at least for free massless particles it is possible to construct an explicit boson theory which is exactly equivalent in terms of momenta and energy to a fermion theory. The fermions come as $2^{d/2-1}$ families and the to this whole system of fermions corresponding bosons come as a whole series of the Kalb-Ramond fields, one set of components for each number of indexes on the tensor fields. Since Kalb-Ramond fields naturally (only) couple to the extended objects or branes, we suspect that inclusion of interaction into such for a bosonization prepared system - except for the lowest dimensions - without including branes or something like that is not likely to be possible. The need for the families is easily seen just by using the theorem long ago put forward by Aratyn and one of us (H.B.F.N.), which says that to have the statistical mechanics of the fermion system and the boson system to match one needs to have the number of the field components in the ratio $\frac{2^{d-1}-1}{2^{d-1}}= \frac{\# bosons}{\# fermions}$, enforcing that the number of fermion components must be a multiple of $2^{d-1}$, where $d$ is the space-time dimension. This "explanation" of the number of dimension is potentially useful for the explanation for the number of dimension put forward by one of us (S.N.M.B.) since long in the spin-charge-family theory, and leads like the latter to typically (a multiple of) $4$ families. And this is the second purpose for our work on the fermionization in an arbitrary number of dimensions - namely to learn how "natural" is the inclusion of the families in the way the spin-charge-family theory does.

研究动机与目标

• 建立自由无质量粒子在任意时空维度 $d$ 下的严格玻色化/费米子化对应关系。
• 利用阿拉廷-尼尔森定理与数论恒等式，解释费米子理论中家族多重性的起源。
• 探讨此类对偶性是否可扩展至包含弱引力背景，同时保持动量与能量等价性。
• 通过此对偶性评估自旋-电荷-家族理论预测存在四（或多个）费米子家族的自然性。
• 证明卡勃-拉蒙德场（其耦合至扩展物体（膜））是高维中费米子系统的自然玻色子对偶。

提出的方法

• 使用雅可比三重乘积公式，使费米子态的生成函数（不同部分的分拆）与玻色子态的生成函数（奇数部分的分拆）相等，从而确保态数匹配。
• 将费米子自由度映射至无限乘积 $\prod_{k=1}^\infty (1 + x^k)$，表示不同部分的分拆；将玻色子自由度映射至 $\prod_{m=1,3,5,...} \frac{1}{1 - x^m}$，表示奇数部分的分拆。
• 通过在环面（torus）上对动量态进行多指标乘积，将一维恒等式推广至 $d_{\text{space}}$ 维。
• 通过拓扑量子数（复平面上绕零点的整数卷绕数）对单粒子态进行分类，该量子数在小形变下保持不变。
• 在无质量极限下应用标度不变性，以在弱引力背景中保持动量重标度下的对应关系。
• 利用能量-动量张量 $T_{\mu\nu}$ 论证引力以相同方式耦合至对应的费米子与玻色子构型，从而保持动力学不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种费米子化程序，使其在任意时空维度下精确匹配自由无质量费米子的动量与能量谱？
• RQ2 为何自旋-电荷-家族理论中费米子家族的数量自然地为四的倍数？这一现象是否可通过玻色化对偶性得到解释？
• RQ3 在弱引力背景场存在的情况下，费米子与玻色子自由度之间的对应关系是否仍然保持？
• RQ4 卡勃-拉蒙德场（其耦合至扩展物体）能否作为高维中费米子系统的自然玻色子对偶？
• RQ5 阿拉廷-尼尔森定理（关联费米子与玻色子自由度）是否能为自然界中观测到的家族多重性提供更深层次的解释？

主要发现

• 费米子组分的数量必须是 $2^{d-1}$ 的倍数，才能与玻色子自由度匹配，这在 $d$ 维时空中强制要求至少存在 $2^{d/2-1}$ 个费米子家族。
• 当 $d=4$ 时，此结果为 $2^{4/2 - 1} = 2^1 = 2$ 个家族，但完整系统需包含 $2^{d/2-1}$ 个家族，从而自然解释了存在 4 个或更多家族的现象。
• 雅可比三重乘积恒等式确保了划分为不同部分的分拆数（费米子）等于划分为奇数部分的分拆数（玻色子），从而在态计数层面建立了对偶性。
• 该对应关系在无质量极限下的标度不变性下依然成立，使得动量本征态可在重标度下保持对偶性。
• 该程序表明，若引力作为背景场处理，则其通过能量-动量张量以相同方式耦合至对应的费米子与玻色子构型，从而保持动力学不变。
• 该方法暗示，只要引力场不致过强，即可在引力存在下实现费米子化，因为拓扑量子数（卷绕数）在小形变下保持不变。