[论文解读] Fibonacci numbers modulo cubes of primes

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2009

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文在模 $p^3$ 和 $p^2$ 下建立了形如 $\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k}$ 的和的新同余式，将其与卢卡斯序列和勒让德符号联系起来。证明了这些和同余于包含勒让德符号 $\left(\frac{m(m-4)}{p^a}\right)$ 和卢卡斯商的表达式，推广了关于斐波那契数模素数幂的已有结果，并为研究费马最后定理和 $p$-进上下文中的卡塔兰数提供了新工具。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime. It is well known that $F_{p-(\frac p5)}\equiv 0\pmod{p}$, where $\{F_n\}_{n\ge0}$ is the Fibonacci sequence and $(-)$ is the Jacobi symbol. In this paper we show that if $p ot=5$ then we may determine $F_{p-(\frac p5)}$ mod $p^3$ in the following way: $$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k}{(-16)^k}\equiv\left(\frac{p}5 ight)\left(1+\frac{F_{p-(\frac {p}5)}}2 ight)\pmod{p^3}.$$ We also use Lucas quotients to determine $\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{2k}k/m^k$ modulo $p^2$ for any integer $m ot\equiv0\pmod{p}$; in particular, we obtain $$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k}{16^k}\equiv\left(\frac3{p} ight)\pmod{p^2}.$$ In addition, we pose three conjectures for further research.

研究动机与目标

• 推导中心二项式系数加权和模 $p^3$ 和 $p^2$ 的显式同余式。
• 将这些和与卢卡斯序列及斐波那契型递推结构联系起来。
• 将关于斐波那契商和沃尓-祖恩-祖恩素数的已知结果推广到更高阶的素数幂模数。
• 为研究与卡塔兰数和中心二项式系数相关的组合和的 $p$-进行为提供新的代数工具。

提出的方法

• 利用二项式系数的性质和卢卡斯定理，推导出 $\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{(-16)^k}$ 模 $p^3$ 的主同余式。
• 应用卢卡斯定理，通过分析 $p$-进展开中二项式系数的约化，将和模 $p$ 和 $p^2$ 简化。
• 使用卢卡斯序列 $u_n(A,B)$ 和 $v_n(A,B)$ 的理论，特别是 $u_n(4,m)$，将和表示为代数数论函数的形式。
• 利用勒让德符号和雅克比符号编码二次剩余性，并控制同余式中的符号行为。
• 应用关于卡塔兰数 $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$ 及其生成函数的已知恒等式，将 $\binom{2k}{k}/m^k$ 的和与 $C_k/m^k$ 的和联系起来。
• 使用欧拉定理和 $p$-进提升技巧，将 $m^{p^a - 1} \equiv m^{p-1} \pmod{p^2}$ 简化，从而简化指数项。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于奇素数 $p$ 和正整数 $a$，形如 $\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k}$ 的和如何在模 $p^3$ 下表征？
• RQ2 此类和与卢卡斯序列 $u_n(4,m)$ 之间存在何种联系，特别是在 $p$-进同余的背景下？
• RQ3 能否利用这些和将斐波那契型商的 $p$-进赋值推广到更高阶的素数幂模数？
• RQ4 勒让德符号 $\left(\frac{m(m-4)}{p^a}\right)$ 和 $\left(\frac{-m}{p}\right)$ 如何控制这些同余式的结构？
• RQ5 卡塔兰数在改进模 $p^2$ 下中心二项式系数和的同余式中起什么作用？

主要发现

• 对于奇素数 $p \neq 5$，同余式 $\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{(-16)^k} \equiv \left(\frac{p^a}{5}\right)\left(1 + \frac{F_{p^a - (\frac{p^a}{5})}}{2}\right) \pmod{p^3}$ 成立，将斐波那契数与模 $p^3$ 下的中心二项式和联系起来。
• 当 $m = 8$ 时，同余式 $\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{8^k} \equiv \left(\frac{2}{p^a}\right) \pmod{p^2}$ 成立，显示出与二次互反律的清晰联系。
• 当 $m = 16$ 时，同余式 $\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{16^k} \equiv \left(\frac{3}{p^a}\right) \pmod{p^2}$ 成立，表明与勒让德符号 $\left(\frac{3}{p^a}\right)$ 的直接关联。
• 同余式 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k}{16^k} \equiv \frac{4-m}{2} \sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} + \frac{m}{2} - 2p\delta_{a,1}\left(\frac{-m}{p}\right) \pmod{p^2}$ 提供了卡塔兰数和中心二项式系数和之间的变换关系。
• 对于 $p > 3$，同余式 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{(2k-1)^2 16^k} \equiv \left(\frac{-1}{p}\right)\frac{3(\frac{p}{3})+1}{4} \pmod{p^2}$ 成立，其显式值取决于 $p \mod 12$，证实了亚当丘克的猜想。
• 本文证明了 $\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} \equiv \left(\frac{m(m-4)}{p^a}\right) + \left(\frac{-m}{p}\right)\left(\frac{m(m-4)}{p^{a-1}}\right)\bar{m}u_{p-(\frac{4-m}{p})}(4,m) \pmod{p^2}$，建立了组合和与卢卡斯序列之间深刻的联系。