[论文解读] Flat connections and Brauer Type Algebras

Zhi Chen|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文通过KZ型方程的平坦联络，为伪反射群和考克斯eter群引入了一类广义的布拉乌尔型代数 $B_G(\Upsilon)$。证明了当 $G$ 为单连通型时，$B_G(\Upsilon)$ 同构于已知代数，支持胞腔结构，并在 $G$ 为二面体群或 $H_3$ 型时，对通用参数具有半单性；同时，该代数还导出复 braid 群的广义 Lawrence-Krammer 表示。

ABSTRACT

We introduce a Brauer type algebra $B_G (Υ) $ associated with every pseudo reflection group and every Coxeter group $G$. When $G$ is a Coxeter group of simply-laced type we show $B_G (Υ)$ is isomorphic to the generalized Brauer algebra of simply-laced type introduced by Cohen, Gijsbers and Wales ({\it J. Algebra}, {\bf 280} (2005), 107-153). We also prove $B_G (Υ)$ has a cellular structure and be semisimple for generic parameters when $G$ is a dihedral group or the type $H_3$ Coxeter group. Moreover, in the process of construction, we introduce a further generalization of Lawrence-Krammer representation to complex braid groups associated with all pseudo reflection groups.

研究动机与目标

• 通过平坦联络构造任意伪反射群和考克斯eter群的布拉乌尔型代数 $B_G(\Upsilon)$。
• 将 Lawrence-Krammer 表示推广至所有伪反射群对应的复 braid 群。
• 证明当 $G$ 为单连通型时，$B_G(\Upsilon)$ 同构于已知代数并支持胞腔结构。
• 证明当 $G$ 为二面体群或 $H_3$ 型考克斯eter群时，$B_G(\Upsilon)$ 在通用参数下具有半单性。
• 证明 $B_G(\Upsilon)$ 来源于反射超平面补集上 $G$-不变的平坦联络。

提出的方法

• 构造基于 $M_G = V \setminus \bigcup_{i\in P} H_i$ 上的平坦联络，该联络由群 $G$ 关联的 KZ 型方程导出。
• $B_G(\Upsilon)$ 通过包含参数 $\mu_s$ 和 $m_i$ 的生成元与关系定义，且在共轭与轨道等价下保持不变。
• 关键技术是利用 $M_G$ 上的全纯 1-形式 $\omega_i = d\alpha_i / \alpha_i$，其构成平坦联络结构的基础。
• 广义 Lawrence-Krammer 表示通过 $M_G$ 上平坦联络的单值性构造，从而给出复 braid 群 $A_G$ 的表示。
• 通过反自同构与平坦联络的相容性，特别在二面体群与 $H_3$ 情况下，确立了胞腔结构。
• 通过比较 $B_G(\Upsilon)$ 中的关系与已知代数（如循环布拉乌尔代数与单连通布拉乌尔代数）的关系，证明了同构结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 为非单连通型考克斯eter群时，$B_G(\Upsilon)$ 是否推广了已知布拉乌尔代数？
• RQ2 能否将 Lawrence-Krammer 表示扩展至所有伪反射群的复 braid 群？
• RQ3 当 $G$ 为二面体群或 $H_3$ 型时，$B_G(\Upsilon)$ 在通用参数下是否具有半单性？
• RQ4 $B_G(\Upsilon)$ 是否对有限伪反射群支持胞腔结构？
• RQ5 能否利用 $M_G$ 上的 KZ 型平坦联络将 $B_G(\Upsilon)$ 变形为 BMW 型代数？

主要发现

• 当 $G$ 为单连通型考克斯eter群时，$B_G(\Upsilon)$ 同构于 Cohen、Gijsbers 与 Wales 的广义布拉乌尔代数。
• 当 $G$ 为 $G(m,1,n)$ 伪反射群时，循环布拉乌尔代数作为 $B_G(\Upsilon)$ 的直接分量出现。
• 在二面体群与 $H_3$ 型考克斯eter群情况下，$B_G(\Upsilon)$ 支持胞腔结构，并在通用参数下具有半单性。
• $B_G(\Upsilon)$ 支持 $M_G$ 上的平坦 $G$-不变联络，推广了单连通情形下的现象。
• 该构造通过平坦联络的单值性，导出了复 braid 群 $A_G$ 的广义 Lawrence-Krammer 表示。
• $B_G(\Upsilon)$ 中存在自然的反自同构，使得在特定情况下可构造胞腔结构。