[论文解读] Fourier sparsity, spectral norm, and the Log-rank conjecture

Hing Yin Tsang, Chung Hoi Wong+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 42被引用 6

一句话总结

本文通过利用布尔函数的傅里叶稀疏性和谱范数，建立了关于XOR函数 $f(x \oplus y)$ 的确定性通信复杂度的新上界。证明了对于 $\mathbb{F}_2$-度数为常数的函数，通信复杂度被限制在 $O(2^{d^2/2} \log^{d-2} \|\hat{f}\|_1)$ 以内；对于一般函数，则为 $O(d \|\hat{f}\|_1)$，相比平凡的线性界几乎提升了二次方因子。关键贡献是一个基于多项式秩变体的度数约减协议，支持了通信代价在秩的多对数范围内的猜想。

ABSTRACT

We study Boolean functions with sparse Fourier coefficients or small spectral norm, and show their applications to the Log-rank Conjecture for XOR functions f(x\oplus y) --- a fairly large class of functions including well studied ones such as Equality and Hamming Distance. The rank of the communication matrix M_f for such functions is exactly the Fourier sparsity of f. Let d be the F2-degree of f and D^CC(f) stand for the deterministic communication complexity for f(x\oplus y). We show that 1. D^CC(f) = O(2^{d^2/2} log^{d-2} ||\hat f||_1). In particular, the Log-rank conjecture holds for XOR functions with constant F2-degree. 2. D^CC(f) = O(d ||\hat f||_1) = O(\sqrt{rank(M_f)}\logrank(M_f)). We obtain our results through a degree-reduction protocol based on a variant of polynomial rank, and actually conjecture that its communication cost is already \log^{O(1)}rank(M_f). The above bounds also hold for the parity decision tree complexity of f, a measure that is no less than the communication complexity (up to a factor of 2). Along the way we also show several structural results about Boolean functions with small F2-degree or small spectral norm, which could be of independent interest. For functions f with constant F2-degree: 1) f can be written as the summation of quasi-polynomially many indicator functions of subspaces with \pm-signs, improving the previous doubly exponential upper bound by Green and Sanders; 2) being sparse in Fourier domain is polynomially equivalent to having a small parity decision tree complexity; 3) f depends only on polylog||\hat f||_1 linear functions of input variables. For functions f with small spectral norm: 1) there is an affine subspace with co-dimension O(||\hat f||_1) on which f is a constant; 2) there is a parity decision tree with depth O(||\hat f||_1 log ||\hat f||_0).

研究动机与目标

• 研究XOR函数 $f(x \oplus y)$ 的通信复杂度，特别是与对数秩猜想的关系。
• 理解具有稀疏傅里叶谱或小谱范数的布尔函数的结构性质。
• 利用傅里叶分析工具，建立关于确定性通信复杂度 $\sf{D^{CC}}(f \circ \oplus)$ 的更紧上界。
• 通过谱范数将基于秩的平凡线性界几乎提升二次方因子。

提出的方法

• 提出一种基于多项式秩变体的度数约减协议，以分析为降低 $f$ 的 $\mathbb{F}_2$-度数所需奇偶查询的数量。
• 使用谱范数 $\|\hat{f}\|_1$ 和傅里叶稀疏性 $\|\hat{f}\|_0$ 作为关键参数，以界通信复杂度。
• 应用 Gopalan 等人论文中的引理 34，表明在 $\ell_2$-范数下接近稀疏函数的函数，也接近于傅里叶稀疏性较低的布尔函数。
• 利用引理 33 表明，傅里叶稀疏性小的函数可通过 $\log^{O(1)}\|\hat{f}\|_0$ 个奇偶查询计算。
• 利用如下事实：对于XOR函数，通信矩阵 $M_f$ 的秩等于 $f$ 的傅里叶稀疏性。
• 推测该协议的通信代价为 $\log^{O(1)}\mathrm{rank}(M_f)$，从而支持对数秩猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 XOR函数的通信复杂度能否以傅里叶稀疏性和谱范数为条件进行界定？
• RQ2 基于多项式秩的度数约减协议是否能实现近似最优的通信代价？
• RQ3 对于 $\mathbb{F}_2$-度数为常数的XOR函数，其通信复杂度是否被界于 $O(2^{d^2/2} \log^{d-2} \|\hat{f}\|_1)$ 之内？
• RQ4 能否通过谱范数将基于秩的平凡线性界几乎提升二次方因子？
• RQ5 所提协议的通信代价是否为通信矩阵秩的多对数函数？

主要发现

• 对于 $\mathbb{F}_2$-度数为常数 $d$ 的XOR函数，有 $\sf{D^{CC}}(f \circ \oplus) = O(2^{d^2/2} \log^{d-2} \|\hat{f}\|_1)$，确认了该类函数的对数秩猜想。
• 对于一般函数，有 $\sf{D^{CC}}(f \circ \oplus) = O(d \|\hat{f}\|_1) = O(\sqrt{\mathrm{rank}(M_f)} \log \mathrm{rank}(M_f))$，相比平凡线性界几乎提升了二次方因子。
• 度数为常数的 $\mathbb{F}_2$-函数可表示为次多项式数量的带符号子空间指示函数之和，改进了 Green 和 Sanders 的双指数界。
• 对于 $\mathbb{F}_2$-度数为常数的函数，傅里叶稀疏性与奇偶决策树复杂度是多项式等价的。
• 对于谱范数较小的函数，存在一个余维数为 $O(\|\hat{f}\|_1)$ 的仿射子空间，使得 $f$ 在其上为常数。
• 对于谱范数较小的函数，存在一个深度为 $O(\|\hat{f}\|_1 \log \|\hat{f}\|_0)$ 的奇偶决策树。