[论文解读] Galerkin approximations of nonlinear optimal control problems in Hilbert spaces

Mickaël D. Chekroun, Axel Kröner+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Stability and Controllability of Differential EquationsEngineering参考文献 63被引用 22

一句话总结

本文通过识别在何种最小且可检验的条件下，Galerkin逼近的值函数会一致收敛到真实值函数，建立了希尔伯特空间中非线性最优控制问题的Galerkin逼近收敛性。该方法利用Trotter-Kato半群理论，适用于紧致流形上的半线性热方程以及球面上的能量平衡气候模型，确保对广泛类别的非线性控制策略和代价泛函均实现收敛。

ABSTRACT

Nonlinear optimal control problems in Hilbert spaces are considered for which we derive approximation theorems for Galerkin approximations. Approximation theorems are available in the literature. The originality of our approach relies on the identification of a set of natural assumptions that allows us to deal with a broad class of nonlinear evolution equations and cost functionals for which we derive convergence of the value functions associated with the optimal control problem of the Galerkin approximations. This convergence result holds for a broad class of nonlinear control strategies as well. In particular, we show that the framework applies to the optimal control of semilinear heat equations posed on a general compact manifold without boundary. The framework is then shown to apply to geoengineering and mitigation of greenhouse gas emissions formulated for the first time in terms of optimal control of energy balance climate models posed on the sphere $\\mathbb{S}^2$.

研究动机与目标

• 在希尔伯特空间框架下，建立非线性最优控制问题中Galerkin逼近收敛性的充分条件。
• 将现有线性演化方程的收敛结果扩展至非线性演化方程，包括半线性抛物型PDE和非线性时滞微分方程。
• 在最小且可验证的假设下，确保与Galerkin逼近最优控制问题相关的值函数实现一致收敛。
• 展示该方法在真实系统中的适用性，如球面上的能量平衡气候模型和紧致流形上的半线性热方程。
• 提供一个通用框架，可超越基于特征函数的Galerkin基，支持使用非理想谱基。

提出的方法

• 利用$C_0$-半群理论中的Trotter-Kato逼近框架，分析Galerkin逼近的收敛性。
• 建立Galerkin状态在时间与允许控制上的一致双收敛性，确保值函数收敛。
• 引入假设(A7)作为关键条件，将标准局部利普希茨条件推广至处理状态与控制相关的非线性项。
• 通过将正交投影施加于有限维子空间，将该框架应用于紧致黎曼流形上的半线性热方程，包括$\mathbb{S}^2$。
• 将该方法适配至球面上的能量平衡模型（EBMs），将地球工程和温室气体减排建模为最优控制问题。
• 采用弱拓扑方法与紧致性论证，在标准泛函分析条件下证明最优控制的存在性与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在希尔伯特空间中的非线性最优控制问题中，Galerkin逼近的值函数在何种最小且可检验的条件下收敛到真实值函数？
• RQ2 Trotter-Kato框架如何扩展，以在存在状态与控制相关非线性依赖时，确保受控轨迹与值函数的一致收敛？
• RQ3 当基函数并非线性算子的特征函数时，Galerkin逼近框架在多大程度上仍保持有效？
• RQ4 该收敛理论能否应用于气候模型，如球面上的能量平衡模型，特别是针对地球工程与排放缓解策略？
• RQ5 在此类非线性、无限维设定下，值函数与最优控制收敛的误差估计可如何推导？

主要发现

• 在假设(A7)下，Galerkin逼近最优控制问题的值函数一致收敛到真实值函数，该假设将标准利普希茨条件推广至非线性项。
• 受控Galerkin状态在时间与允许控制上的一致收敛性被确立为确保值函数收敛的关键机制，形式化于定理2.1与推论2.1。
• 该框架适用于紧致流形上的半线性热方程，包括$\mathbb{S}^2$，在非线性项与控制集的标准假设下可保证收敛。
• 该方法可扩展至非线性时滞微分方程系统，扩大其适用范围，不仅限于PDE，还可用于复杂动力系统（如ENSO）的建模。
• 推导出值函数收敛的误差估计，提供了在所提假设下的定量界。
• 即使Galerkin基并非线性算子的特征函数，该方法依然有效，从而可使用更具灵活性的问题特定基函数。