[论文解读] Generalised multilevel Picard approximations

Michael B. Giles, Arnulf Jentzen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 95被引用 13

一句话总结

本文提出了一类广义的全历史递归多水平Picard（MLP）逼近方案，用于求解高维半线性抛物型PDE。证明了这些方案可克服维度灾难，其计算成本在维度 $d$ 和 $varepsilon^{-1}$ 上呈多项式增长，首次为一般时间范围和初始条件下的MLP方法建立了严格的复杂度结果。

ABSTRACT

It is one of the most challenging problems in applied mathematics to approximatively solve high-dimensional partial differential equations (PDEs). In particular, most of the numerical approximation schemes studied in the scientific literature suffer under the curse of dimensionality in the sense that the number of computational operations needed to compute an approximation with an error of size at most $ \varepsilon > 0 $ grows at least exponentially in the PDE dimension $ d \in \mathbb{N} $ or in the reciprocal of $ \varepsilon $. Recently, so-called full-history recursive multilevel Picard (MLP) approximation methods have been introduced to tackle the problem of approximately solving high-dimensional PDEs. MLP approximation methods currently are, to the best of our knowledge, the only methods for parabolic semi-linear PDEs with general time horizons and general initial conditions for which there is a rigorous proof that they are indeed able to beat the curse of dimensionality. The main purpose of this work is to investigate MLP approximation methods in more depth, to reveal more clearly how these methods can overcome the curse of dimensionality, and to propose a generalised class of MLP approximation schemes, which covers previously analysed MLP approximation schemes as special cases. In particular, we develop an abstract framework in which this class of generalised MLP approximations can be formulated and analysed and, thereafter, apply this abstract framework to derive a computational complexity result for suitable MLP approximations for semi-linear heat equations. These resulting MLP approximations for semi-linear heat equations essentially are generalisations of previously introduced MLP approximations for semi-linear heat equations.

研究动机与目标

• 解决高维半线性抛物型PDE的求解挑战，这类问题由于维度灾难而难以用经典方法求解。
• 克服现有数值方案（如有限差分法和深度学习方法）的局限性，后者或存在指数级成本增长，或缺乏严格的误差分析。
• 提出一个广义的全历史递归多水平Picard（MLP）逼近框架，以统一并扩展先前的MLP方案。
• 提供严格的复杂度分析，证明所提出的广义MLP方案可在一般初始条件和时间范围内克服维度灾难。
• 建立计算复杂度界，表明其在维度 $d$ 和误差容限的倒数 $\varepsilon^{-1}$ 上均呈多项式依赖。

提出的方法

• 通过希尔伯特空间中的偏差-方差分解和广义方差恒等式，构建广义MLP逼近的一般抽象框架。
• 基于全历史递归定义递归逼近方案，其中每一层通过布朗运动路径的蒙特卡洛采样来改进解。
• 利用后向随机微分方程（BSDEs）对PDE解进行随机表征，并通过布朗运动泛函迭代逼近解。
• 引入涉及独立随机变量 $U^\theta$ 和布朗运动 $W^{d,\theta}$ 的递归公式，以模拟路径并计算期望。
• 通过分析每层的蒙特卡洛样本数和计算操作数，推导成本界，成本以 $ (M_j)^n $ 形式增长，其中 $M_j$ 控制样本数量。
• 在满足可积性和可测性条件时，确保递归方案保持良好定义且收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一类广义的多水平Picard逼近方案，以统一并扩展现有用于高维PDE的MLP方案？
• RQ2 在具有一般初始条件和时间范围的半线性热方程背景下，所提出的广义MLP方案如何克服维度灾难？
• RQ3 广义MLP逼近的计算复杂度在维度 $d$ 和误差容限 $varepsilon$ 上如何表现？
• RQ4 在初始数据和非线性项满足何种条件下，广义MLP方案能保持多项式成本增长？
• RQ5 该抽象框架能否被具体化，从而为半线性热方程提供显式的复杂度界？

主要发现

• 所提出的广义MLP逼近方案是首次在一般时间范围和初始条件下，对抛物型半线性PDE被严格证明可克服维度灾难的方案。
• 对于半线性热方程，MLP逼近的计算成本满足 $ \mathrm{Cost}_{d,N_{d,\varepsilon},N_{d,\varepsilon}} \leq C_\delta \, d^{1+p(1+\delta)} \varepsilon^{-2(1+\delta)} $，对任意 $\delta > 0$ 成立，证明了其在 $d$ 和 $\varepsilon^{-1}$ 上均呈多项式增长。
• 逼近误差满足 $ \mathbb{E}[|Y_{n,n}^{d,0}(0,\xi_d) - y_d(0,\xi_d)|^2]^{1/2} \leq \varepsilon $，当 $n \geq N_{d,\varepsilon}$ 时，确保逼近解以可控误差收敛到真实解。
• 该框架允许一般初始条件 $\xi_d$ 和Lipschitz非线性项 $f$，并通过 $g_d$ 的增长条件确保解及其矩有界。
• 分析表明，成本在 $d$ 和 $\varepsilon^{-1}$ 上至多呈多项式增长，指数依赖于终端条件和非线性项的多项式增长率 $p$。
• 在初始数据和系数的可积性与可测性假设较弱时，该结果依然成立，且显式常数依赖于 $L$、$T$、$K$ 和 $p$。