[论文解读] Generalised Poisson-Dirichlet Distributions and the Negative Binomial Point Process

Yuguang Ipsen, Ross Maller|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文引入了广义的泊松-狄利克雷分布 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$，其来源于对时间1内 $\alpha$-稳定下渗过程的前 $r$ 个最大跳跃值进行修剪，并建立了与负二项点过程的新型联系。通过利用这一联系，作者推导出 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 的大小偏差版本的杆断表示法与可处理的分布形式，从而为金融与语言学等应用中提供了灵活的新模型。

ABSTRACT

When $S=(S_t)_{t\ge 0}$ is an $α$-stable subordinator, the sequence of ordered jumps of $S$, up till time $1$, omitting the $r$ largest of them, and taken as proportions of their sum $^{(r)}S_t$, defines a 2-parameter distribution on the infinite dimensional simplex, $ abla_{\infty}$, which we call the $\mathrm{PD}_α^{(r)}$ distribution. When $r=0$ it reduces to the $\mathrm{PD}_α$ distribution introduced by Kingman in 1975. We observe a serendipitous connection between $\mathrm{PD}_α^{(r)}$ and the negative binomial point process of Gregoire (1984), which we exploit to analyse in detail a size-biased version of $\mathrm{PD}_α^{(r)}$. As a consequence we derive a stick-breaking representation for the process and a useful form for its distribution. This program produces a large new class of distributions available for a variety of modelling purposes.

研究动机与目标

• 定义并分析一类新分布 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$，方法为从时间1内 $\alpha$-稳定下渗过程的有序跳跃值中去除前 $r$ 个最大跳跃值。
• 建立 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 与 Gregoire (1984) 提出的负二项点过程之间的意外关联，从而实现更深入的分布分析。
• 推导 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 的大小偏差版本，并为其构建杆断表示法，以促进模拟与推断。
• 通过拉普拉斯变换与点过程技术，为大小偏差版本的 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 提供显式闭式表达式。
• 展示 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 在实际应用中的有效性，特别是在金融与语言学中，当极端值扭曲标准 $\mathbf{PD}_\alpha$ 拟合时。

提出的方法

• 将 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 定义为从时间1内稳定下渗过程去除前 $r$ 个最大跳跃值后剩余跳跃值的归一化分布。
• 利用稳定比的拉普拉斯变换，揭示其与负二项点过程之间的结构关联。
• 通过按跳跃大小重新加权，构建 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 的大小偏差排列，从而获得可处理的表示形式。
• 利用点过程框架与识别出的与负二项过程的关联，推导出大小偏差 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 的杆断表示法。
• 运用积分恒等式与拉普拉斯变换的代数操作，验证所推导密度函数的积分值为1，确保其作为概率分布的有效性。
• 利用所得分布形式，分析在修剪条件下归一化跳跃大小的渐近行为与矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 从修剪后的 $\alpha$-稳定下渗过程的归一化跳跃分布与经典 $\mathbf{PD}_\alpha$ 分布相比有何不同？
• RQ2 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 分布与负二项点过程之间的确切数学关联是什么？
• RQ3 能否为 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 的大小偏差版本构建杆断表示法？
• RQ4 大小偏差 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 分布的概率密度函数的显式形式是什么？
• RQ5 在资本分布曲线或词频排序等应用中，当极端值扭曲标准 $\mathbf{PD}_\alpha$ 拟合时，$\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 如何提升建模效果？

主要发现

• $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 分布被定义为从时间1内 $\alpha$-稳定下渗过程去除前 $r$ 个最大跳跃值后剩余跳跃值的归一化分布，构成在无限单纯形 $\nabla_\infty$ 上的两参数族。
• 建立了 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 与负二项点过程之间的直接关联，从而可推导出其大小偏差分布形式。
• 为大小偏差 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 推导出杆断表示法，提供了一种构造性模拟与推断方法。
• 证明了大小偏差向量的联合密度函数积分为1，确认其作为概率分布的有效性，验证过程基于拉普拉斯变换与积分恒等式。
• 通过密度 $g_{r+1}(t)$ 与涉及 Lévy 测度的拉普拉斯变换表达分布形式，获得适用于推断的可处理表达式。
• 在实际数据背景下（如纳斯达克资本分布曲线与词频排序），模型显示优于 $\mathbf{PD}_\alpha$ 的拟合效果，尤其当少数大值扭曲拟合时。