[论文解读] Geodesics Currents and Counting Problems

Kasra Rafi, Juan Souto|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文建立了在紧致曲面上的测度当前空间上，对正的、连续的、齐次函数，其映射类群轨道数的通用渐近计数公式。通过映射类群在实测测度利玛林上的作用以及Thurston的测度利玛林测度，证明了此类轨道的增长率由一组几何不变量的乘积决定，推广了Mirzakhani的曲线计数结果，并在Teichmüller空间中以Thurston度量建立了格点计数定理。

ABSTRACT

For every positive, continuous and homogeneous function $f$ on the space of currents on a compact surface $\overlineΣ$, and for every compactly supported filling current $α$, we compute as $L o \infty$, the number of mapping classes $ϕ$ so that $f(ϕ(α))\leq L$. As an application, when the surface in question is closed, we prove a lattice counting theorem for Teichmüller space equipped with the Thurston metric.

研究动机与目标

• 将Mirzakhani的曲线计数定理推广至测度当前空间上任意正的、连续的、齐次函数。
• 在配备Thurston度量的Teichmüller空间中建立格点计数定理。
• 计算映射类群在该类函数下对填充当前轨道的渐近增长速率。
• 通过几何不变量将计数问题与Thurston测度及Weil-Petersson体积联系起来。

提出的方法

• 利用映射类群在当前空间上的作用以及Thurston测度的前推，定义当前空间上的自然不变测度。
• 将函数 $ m(f) $ 定义为满足 $ f(\lambda) \leq 1 $ 的测度利玛林集合的Thurston测度，$ m(\alpha) $ 为与填充当前 $ \alpha $ 的交配对。
• 应用Lindenstrauss-Mirzakhani关于轨道测度等分布的定理，证明归一化计数测度收敛于Thurston测度的倍数。
• 利用关键恒等式 $ \nu = \frac{m(\alpha)}{\mathbf{m}_\Sigma} \mu_{\text{Thu}} $，该式由等分布与交配对对称性推导得出。
• 利用事实 $ D_X(\eta) = \sup_{\mu \in \mathcal{ML}} \frac{i(\mu,\eta)}{\ell_X(\mu)} $，该式将Thurston度量与交配对联系起来。
• 通过证明满足 $ f(\phi(\alpha)) \leq L $ 的 $ \phi \in \text{Map}(\Sigma) $ 的数量渐近增长为 $ \frac{m(\alpha)\,m(f)}{\mathbf{m}_\Sigma} L^{6g+2n-6} $，完成主定理的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 在测度当前空间上，对正的、连续的、齐次函数，填充当前的映射类群轨道数的渐近增长速率是什么？
• RQ2 此类轨道的计数如何与模空间上的Thurston测度及Weil-Petersson体积相关联？
• RQ3 当Teichmüller空间配备Thurston度量时，能否建立格点计数定理？
• RQ4 在映射类群作用下，长度有界的曲线计数公式的精确常数是什么？
• RQ5 归一化轨道测度在当前空间上的等分布如何与Thurston测度相关？

主要发现

• 当 $ L \to \infty $ 时，填充当前 $ \alpha $ 在函数 $ f $ 下的映射类群轨道数的渐近增长速率为 $ \frac{m(\alpha)\,m(f)}{\mathbf{m}_\Sigma} L^{6g+2n-6} $。
• 常数 $ \mathbf{m}_\Sigma = \int_{\mathcal{M}(\Sigma)} m(X) \, d\!\text{vol}_{\text{wp}} $ 是模空间上Thurston测度归一化函数的积分。
• 归一化轨道测度 $ \nu_\alpha^L $ 的等分布意味着任何弱极限均为Thurston测度的倍数，其常数为 $ \frac{m(\alpha)}{\mathbf{m}_\Sigma} $。
• 该结果通过显式计算常数 $ n_\gamma = m(\gamma) $ 推广了Mirzakhani的曲线计数定理，解决了她工作中一个开放问题。
• 在Teichmüller空间中以Thurston度量建立了格点计数定理：某点周围Thurston距离为 $ R $ 内的 $ \phi(\gamma) $ 数量渐近增长为 $ e^{(6g+2n-6)R} $，并给出了精确的渐近常数。
• 函数 $ D_X(\eta) = \sup_{\mu \in \mathcal{ML}} \frac{i(\mu,\eta)}{\ell_X(\mu)} $ 满足 $ d_{\text{Thu}}(X,Y) = \log D_X(Y) $，从而使得主定理可应用于Thurston度量。