[论文解读] Geometric and algebraic presentations of Weinstein domains

Oleg Lazarev|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文建立了 Weinstein 域中几何手柄相互作用与它们的缠绕 Fukaya 范畴中代数关系之间的对应关系，表明索引为 $n$ 和 $n-1$ 的手柄之间的交点诱导出链锁的扭曲复形。证明了从奇异上同调到格罗滕迪克群的满射映射，将辛上同调与丹尼斯迹联系起来，并构造了一个 $C^0$-连续的维特博函子，以阻碍 Legendrian 元素的 $C^0$-接近性，从而通过导出 Morita 等价实现对标准余切丛和 Legendrian 元素的奇异 Weinstein 表示。

ABSTRACT

We prove that geometric intersections between Weinstein handles induce algebraic relations in the wrapped Fukaya category, which we use to study the Grothendieck group. We produce a surjective map from middle-dimensional singular cohomology to the Grothendieck group, show that the geometric acceleration map to symplectic cohomology factors through the categorical Dennis trace map, and introduce a Viterbo functor for $C^0$-close Weinstein hypersurfaces, which gives an obstruction for Legendrians to be $C^0$-close. We show that symplectic flexibility is a geometric manifestation of Thomason's correspondence between split-generating subcategories and subgroups of the Grothendieck group, which we use to upgrade Abouzaid's split-generation criterion to a generation criterion for Weinstein domains. Thomason's theorem produces exotic presentations for certain categories and we give geometric analogs: exotic Weinstein presentations for standard cotangent bundles and Legendrians whose Chekanov-Eliashberg algebras are not quasi-isomorphic but are derived Morita equivalent.

研究动机与目标

• 理解 Weinstein 域中几何手柄附着如何在缠绕 Fukaya 范畴中诱导代数关系。
• 为拉格朗日子核心与束球之间几何与代数交点数提供范畴解释。
• 构造一个 $C^0$-连续的维特博函子，以阻碍 Legendrian 元素的 $C^0$-接近性。
• 利用汤姆森对应关系，将阿布扎伊德的分裂生成准则扩展为完整生成准则。
• 为标准余切丛和 Chekanov-Eliashberg 代数非同构但导出 Morita 等价的 Legendrian 元素生成奇异 Weinstein 表示。

提出的方法

• 利用 $n-1$-手柄的 h-原理，分析 $n-1$-手柄体中可平移的拉格朗日圆盘，其作为 $n$-手柄子核心的扭曲复形实现。
• 从 Legendrian 附着球面 $\Lambda^{n-1}$ 与共变束球面 $\Gamma^n$ 之间的交点数据出发，在 $\mathcal{W}(X)$ 中构造出由正负交点计数参数化的链锁扭曲复形。
• 应用带有 $m$ 个停止点的圆盘的部分缠绕 Fukaya 范畴（与 $A_{m-1}$-quiver 表示范畴拟等价），以建模 $n-1$-手柄的骨架，并推导出链锁性。
• 利用丹尼斯迹映射将几何加速映射与辛上同调联系起来，证明其通过范畴迹因子化。
• 应用定理 1.21 执行 Weinstein 同伦，将单个 $n$-手柄替换为 $2s-1$ 个平行子核心，生成不同的 Legendrian 球面 $\Lambda_s$。
• 利用 $WH(L,C)$ 的有限维性，区分不同 $s$ 下的子核心 $D_s$，证明其非拟同构对象，从而得出非同痕的 Legendrian 元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 Weinstein 域中 $n$-与 $(n-1)$-手柄之间的几何交点如何在缠绕 Fukaya 范畴中引发代数关系？
• RQ2 能否从中间维奇异上同调到 $\mathcal{W}(X)$ 的格罗滕迪克群构造满射映射，其与辛不变量有何关系？
• RQ3 在范畴设定下，到辛上同调的加速映射是否通过丹尼斯迹映射因子化？
• RQ4 能否构造一个 $C^0$-连续的维特博函子以阻碍 Legendrian 元素的 $C^0$-接近性，其意义为何？
• RQ5 是否存在标准余切丛或 Chekanov-Eliashberg 代数非同构但导出 Morita 等价的 Legendrian 元素的奇异 Weinstein 表示？

主要发现

• 构造了从中间维奇异上同调到 $\mathcal{W}(X)$ 的格罗滕迪克群的满射映射，将拓扑与范畴不变量联系起来。
• 几何加速映射到辛上同调通过范畴丹尼斯迹映射因子化，建立了辛几何与代数 K-理论之间的桥梁。
• 引入了一个 $C^0$-连续的维特博函子，为 Legendrian 元素的 $C^0$-接近性提供了新阻碍，即使它们微分同痕亦然。
• 为标准余切丛 $T^*S^n$ 构造了奇异 Weinstein 表示，其中不同的 Legendrian 球面 $\Lambda_s$ 尽管 Chekanov-Eliashberg 代数非同构，但生成同伦的域。
• 对于任意具有闭合精确拉格朗日子流形 $L$ 且 $WH(L,C)$ 非零的 Weinstein 域 $X$，存在无穷多个非 Legendrian-同痕的 $\Lambda_s$，使得 $X_0 \cup H^n_{\Lambda_s}$ 与 $X$ 通过不同秩的子核心对象 $D_s$ 进行 Weinstein 同伦。
• 单个 $n$-手柄的子核心在 $X$ 中生成 $\mathcal{W}(X)$，但在如 $T^*S^n_{flex}$ 这类柔性域中，子核心仅分裂生成，凸显了生成与分裂生成之间的区别。