[论文解读] Geometric flow, Multiplier ideal sheaves and Optimal destabilizer for a Fano manifold

Tomoyuki Hisamoto|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 59被引用 7

一句话总结

该论文通过将 Ricci-Calabi 泛函的下确界与测试配置上的非阿基米德 D-能量的上确界联系起来，为 Fano 流形建立了矩权不等式。利用逆 Monge-Ampère 流和弱测地线射线，构造了实现最优不稳定化子的乘子理想层，证明了一般 Fano 流形上稳定性不等式的等式成立。

ABSTRACT

S. K. Donaldson asked whether the lower bound of the Calabi functional is achieved by a sequence the normalized Donaldson-Futaki invariants. We answer the question for the Ricci curvature formalism, in place of the scalar curvature. The principle is that the stability indicator is optimized by the multiplier ideal sheaves of certain weak geodesic ray asymptotic to the geometric flow. We actually prove it in the two case: the inverse Monge-Ampere flow and the Kahler-Ricci flow.

研究动机与目标

• 解决 [D05] 中提出的问题：即 Calabi 泛函的下确界是否可通过归一化的 Donaldson-Futaki 不变量实现，但采用 Ricci 曲率形式而非标量曲率形式。
• 建立类似于几何不变量理论的矩权不等式，将 Ricci-Calabi 泛函与非阿基米德 D-能量联系起来。
• 通过与几何流相关的弱测地线射线导出的乘子理想层，为 Fano 流形构造最优不稳定化子。
• 证明 Ricci-Calabi 泛函的下确界等于测试配置上归一化非阿基米德 D-能量的上确界。
• 通过新变分法重新证明 [DS17] 中的 H-泛函等式，避免使用 [CW14] 和 [CSW15] 中的深奥结果。

提出的方法

• 使用逆 Monge-Ampère 流 $\frac{\partial}{\partial t}\varphi = 1 - e^{\rho}$ 定义一个渐近于几何流的弱测地线射线 $\Phi$。
• 应用 $dd^c$-引理固定参考度量 $\omega_0$，并将所有 Kähler 度量表示为 $\omega = \omega_0 + dd^c\varphi$。
• 从弱测地线射线 $\Phi$ 构造乘子理想层 $\mathcal{J}(m\hat{\Phi})$，用于定义一系列测试配置 $\mathcal{X}_m$。
• 利用 Kähler 度量空间的 Mabuchi 几何及 [DH17] 中的技术，确保弱测地线射线的存在性及其渐近于流的性质。
• 应用 Demailly 近似技术比较关联概率测度 $\mathrm{DH}(\varphi_t)$ 和 $\mathrm{DH}(\varphi_m^t)$ 的 $p$-矩。
• 利用恒等式 $\int_{\mathbb{R}} e^{-\lambda} \mathrm{DH}(\varphi^t) = 1$ 及当 $m \to \infty$ 时 $\mathrm{DH}(\varphi_m^t) \to \mathrm{DH}(\varphi^t)$ 的收敛性，比较不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般 Fano 流形，Ricci-Calabi 泛函的下确界是否等于测试配置上归一化非阿基米德 D-能量的上确界？
• RQ2 Fano 流形的最优不稳定化子是否可作为由弱测地线射线的乘子理想层构造的测试配置序列实现？
• RQ3 Ricci 曲率设定下的矩权不等式是否与标量曲率设定下的等式等价，且是否取等？
• RQ4 能否在不依赖 [CW14] 和 [CSW15] 深刻结果的前提下，重新证明 [DS17] 中的 H-泛函等式？
• RQ5 L^2-归一化的非阿基米德 D-能量与 H-不变量如何与 Kähler-Ricci 流等几何流相关联？

主要发现

• Ricci-Calabi 泛函 $\left[\frac{1}{V}\int_X (e^\rho - 1)^2 \omega^n\right]^{1/2}$ 的下确界由逆 Monge-Ampère 流实现。
• 归一化非阿基米德 D-能量 $\frac{-D^{\mathrm{NA}}(\mathcal{X},\mathcal{L})}{\|\mathcal{X},\mathcal{L}\|_2}$ 的上确界由通过乘子理想层 $\mathcal{J}(m\Phi)$ 的爆破构造的测试配置序列 $\mathcal{X}_m$ 实现。
• 对所有 Fano 流形，等式 $\inf_{\omega}\left[\frac{1}{V}\int_X (e^\rho - 1)^2 \omega^n\right]^{1/2} = \sup_{(\mathcal{X},\mathcal{L})}\frac{-D^{\mathrm{NA}}(\mathcal{X},\mathcal{L})}{\|\mathcal{X},\mathcal{L}\|_2}$ 成立。
• 渐近于逆 Monge-Ampère 流的弱测地线射线 $\Phi$ 以极限方式实现了最优不稳定化子，如 $\mathrm{DH}(\varphi_m^t)$ 的 $p$-矩收敛于 $\mathrm{DH}(\varphi^t)$ 所示。
• H-泛函满足 $\inf_{\omega} H(\omega) = \sup_{(\mathcal{X},\mathcal{L})} H(\mathcal{X},\mathcal{L})$，且通过新变分法证明，无需使用 [CW14] 或 [CSW15]。
• 对于归一化的 Kähler-Ricci 流，恒等式 $F(\dot{\varphi}^t) = F(\dot{\varphi}_t) = 0$ 成立，且关联测度的 $p$-矩适当收敛，支持等式成立。