[论文解读] Geometric representations of graded and rational Cherednik algebras

Alexei Oblomkov, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 45被引用 8

一句话总结

本论文通过配备ℂ*-作用的齐次仿射施瓦茨纤维的上同调，构建了分次与有理Cherednik代数模的几何实现。当自同构θ平凡时，该构造给出了不可约有限维球对称模Lν(triv)，给出了该模的维数公式，并通过Hitchin纤维上的 perverse 膜层对其实现了Frobenius代数结构的几何解释。

ABSTRACT

We provide geometric constructions of modules over the graded Cherednik algebra $\mathfrak{H}^{gr}_ν$ and the rational Cherednik algebra $\mathfrak{H}^{rat}_ν$ attached to a simple algebraic group $\mathbb{G}$ together with a pinned automorphism $θ$. These modules are realized on the cohomology of affine Springer fibers (of finite type) that admit $\mathbb{C}^*$-actions. In the rational Cherednik algebra case, the standard grading on these modules is derived from the perverse filtration on the cohomology of affine Springer fibers coming from its global analog: Hitchin fibers. When $θ$ is trivial, we show that our construction gives the irreducible finite-dimensional spherical modules $\mathfrak{L}_ν(triv)$ of $\mathfrak{H}^{gr}_ν$ and of $\mathfrak{H}^{rat}_ν$. We give a formula for the dimension of $\mathfrak{L}_ν(triv)$ and give a geometric interpretation of its Frobenius algebra structure. The rank two cases are studied in further details.

研究动机与目标

• 通过仿射施瓦茨纤维的上同调，提供分次与有理Cherednik代数模的几何构造。
• 通过其全局类比：Hitchin纤维，将这些模上的标准分次与仿射施瓦茨纤维上同调的 perverse 膜层联系起来。
• 证明当自同构θ平凡时，该构造可恢复不可约有限维球对称模Lν(triv)。
• 推导Lν(triv)的维数公式，并给出其Frobenius代数结构的几何解释。
• 详细分析秩为二的情形，包括Hessenberg流形与不可约模的显式计算。

提出的方法

• 将模实现为配备ℂ*-作用的齐次仿射施瓦茨纤维的上同调群。
• 利用由全局Hitchin纤维丛诱导的仿射施瓦茨纤维上同调的 perverse 膜层，定义模上的分次。
• 借助Kostant截面与Moy-Prasad滤子，分析环路代数中的正则中心化子与齐次元素。
• 在这些纤维的上同调上构造Cherednik代数的全局层论作用。
• 运用Langlands对偶与傅里叶变换，关联对偶群的几何模。
• 应用谱序列论证与对偶定理（例如，通过Killing形式与伴随丛的自对偶性），计算余核并关联上同调与李代数上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用仿射施瓦茨纤维实现分次与有理Cherednik代数模的几何实现？
• RQ2 这些模上的标准分次的起源是什么？它与上同调的 perverse 膜层有何关系？
• RQ3 当θ平凡时，几何构造是否能恢复不可约有限维球对称模Lν(triv)？
• RQ4 Lν(triv)的维数是多少？其Frobenius代数结构如何实现几何化？
• RQ5 在低秩情形（如2A2、C2与G2）中，几何构造的行为如何？

主要发现

• 当自同构θ平凡时，几何构造确实给出了不可约有限维球对称模Lν(triv)。
• Lν(triv)的维数通过一个切映射余核的长度计算，其值等于ker([φ,−])/Lie(Ja)商的长度。
• 模上的标准分次源于仿射施瓦茨纤维上同调的 perverse 膜层，该膜层由Hitchin纤维丛拉回而来。
• Lν(triv)上的Frobenius代数结构通过Killing形式与对偶定理，几何地实现为上同调的自对偶性。
• 当Lν = OX(ν)时，齐次Hitchin纤维微分同构于齐次仿射施瓦茨纤维，从而建立了局部到全局的对应关系。
• 在秩为二的情形（如2A2、C2、G2）中，Hessenberg流形被显式计算，且不可约模被证明可通过这些流形的上同调几何实现。