[论文解读] Geometric Structures in Field Theory

Manuel de León, Michael A. McLean+3 more|ArXiv.org|Aug 26, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 72被引用 30

一句话总结

本文通过比较和对比 $k$-辛、$k$-切触、多辛和 $n$-辛结构，统一了经典场论的几何表述。它在框架丛 $L_{\rho}E$ 上使用 $m$-辛几何，推导出广义哈密顿方程，这些方程在满足正则性和特定参数选择时，可还原为 de Donder-Weyl 和 Rund 的经典方程。

ABSTRACT

This review paper is concerned with the generalizations to field theory of the tangent and cotangent structures and bundles that play fundamental roles in the Lagrangian and Hamiltonian formulations of classical mechanics. The paper reviews, compares and constrasts the various generalizations in order to bring some unity to the field of study. The generalizations seem to fall into two categories. In one direction some have generalized the geometric structures of the bundles, arriving at the various axiomatic systems such as k-symplectic and k-tangent structures. The other direction was to fundamentally extend the bundles themselves and to then explore the natural geometry of the extensions. This latter direction gives us the multisymplectic geometry on jet and cojet bundles and n-symplectic geometry on frame bundles.

研究动机与目标

• 统一经典场论的多种几何方法，包括 $k$-辛、$k$-切触、多辛和 $n$-辛结构。
• 通过比较切丛/余切丛的公理化推广与丛本身的本质扩展，解决场论形式化中的不一致性。
• 在框架丛 $L_{\rho}E$ 上建立一致的 $m$-辛形式，作为场论的统一框架。
• 推导广义哈密顿方程，使其在特定条件下退化为已知结果（de Donder-Weyl、Rund）。
• 在 $L_{\rho}E$ 上定义拉格朗日函数的正则性，并通过非奇异的海森矩阵条件，使共轭动量可作为坐标系的一部分。

提出的方法

• 在适配的框架丛 $L_{\rho}E$ 上使用 $m$-辛几何，其具有向量值 soldering 1-形式 $\theta_L$ 和张量值结构方程 $u^*(\eta \mathbin{\righthalfcup} d\theta^i_L) = 0$。
• 在 $J^1\pi$ 上应用 Cartan-Hamilton-Poincaré $n$-形式 $\Theta_L$，并通过自然的 $k$-切触结构与张量 $S_\alpha$ 将其提升至 $L_{\rho}E$。
• 当海森矩阵 $\left(E^{*i}_A \circ E^{*j}_B(L)\right)$ 非奇异时，将共轭动量 $p^i_A = \partial L / \partial u^A_i$ 作为 $L_{\rho}E$ 上的坐标引入。
• 通过在向量场 $\eta = \partial / \partial p^i_A$ 和 $\eta = \partial / \partial y^A$ 上求值结构方程，推导出广义哈密顿方程，得到两组方程。
• 通过设定 $\tau(n) = 1/n$ 并对指标求和，恢复 de Donder-Weyl 方程；在更复杂的条件下恢复 Rund 方程。
• 利用 $m$-辛结构定义对称泊松代数，并在 $m$-辛框架下推导哈密顿-雅可比方程和欧拉-拉格朗日方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一几何框架内统一 $k$-辛、$k$-切触、多辛和 $n$-辛结构用于场论？
• RQ2 框架丛 $L_{\rho}E$ 及其 $m$-辛结构在推广哈密顿与拉格朗日场论中起什么作用？
• RQ3 广义 $m$-辛哈密顿方程在何种条件下退化为 de Donder-Weyl 或 Rund 的经典方程？
• RQ4 如何通过拉格朗日函数的正则性条件，一致地将共轭动量引入为 $L_{\rho}E$ 上的坐标？
• RQ5 张量值结构方程 $u^*(\eta \mathbin{\righthalfcup} d\theta^i_L) = 0$ 在推导场方程中的意义是什么？

主要发现

• 在 $L_{\rho}E$ 上的 $m$-辛形式提供了一个统一的几何框架，推广了 $k$-辛、$k$-余辛和多辛结构。
• 广义的共轭方程 $u^*(\eta \mathbin{\righthalfcup} d\theta^i_L) = 0$ 在 $\eta = \partial / \partial p^i_A$ 和 $\eta = \partial / \partial y^A$ 时，产生两组 $m$-辛哈密顿方程。
• 方程 (140) 通过令 $j=k$ 并设定 $\tau(n) = 1/n$ 得到，重现了 de Donder-Weyl 共轭方程的一半。
• 方程 (141) 在假设 $\bar{u}^i_j$ 为常数时，简化为 $\partial \bar{p}^i_A / \partial x^i = -\partial h / \partial y^A \circ u$，与 (140) 联立后构成完整的 de Donder-Weyl 系统。
• 推导出 $m$-辛哈密顿-雅可比方程，并证明其与 $m$-辛结构及勒让德变换一致。
• 由海森矩阵 $\left(E^{*i}_A \circ E^{*j}_B(L)\right)$ 的非奇异性所定义的正则性条件，确保共轭动量 $p^i_A$ 可作为 $L_{\rho}E$ 上的坐标使用。